【洛谷P4213】【模板】杜教筛（Sum）

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4213
给定一个正整数 \(n\)，求

\[ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i) \]

\[ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i) \]

思路

杜教筛可以在 \(O(n^{\frac{2}{3}})\) 复杂度内求出积性函数的前缀和。
我们设两个积性函数 \(f,g\)，定义 \(*\) 运算为狄利克雷卷积，那么

\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]

那么如果我们要求积性函数 \(f\) 的前缀和，可以先找到一个合适的积性函数 \(g\)，那么

\[\sum^{n}_{i=1}(f*g)(i)=\sum^{n}_{i=1}\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d}) \]

\[=\sum^{n}_{i=1}g(i)·\sum^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}_{d=1}f(d) \]

令 \(S(n)=\sum^{n}_{i=1}f(i)\)，则

\[=\sum^{n}_{i=1}g(i)·S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \]

那么有

\[S(n)g(1)=\sum^{n}_{i=1}g(i)·S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)-\sum^{n}_{i=2}g(i)·S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \]

因为积性函数 \(g(1)=1\)，所以

\[S(n)=\sum^{n}_{i=1}(f*g)(i)-\sum^{n}_{i=2}g(i)·S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \]

如果找到合适的 \(g\)，让我们可以快速得出 \(\sum^{n}_{i=1}(f*g)(i)\) 和 \(\sum^{n}_{i=2}g(i)\)，就可以计算 \(S(n)\) 了。

---

回到本题，如果要求 \(\mu\) 的前缀和，因为 \(\mu*I=\varepsilon\)，其中 \(I(n)=1,\varepsilon(n)=[n=1]\)，恰好两个的前缀和十分容易计算。所以我们取 \(g=I\)，\((f*g)=\varepsilon\) 即可。
如果要求 \(\varphi\) 的前缀和，因为 \(\varphi*I=\mathrm{id}\)，其中 \(\mathrm{id}(n)=n\)，且计算 \(\mathrm{id}\) 的前缀和直接等差数列求和，所以去 \(g=I\)，\((f*g)=\mathrm{id}\) 即可。
预处理出前 \(n^{\frac{2}{3}}\) 的前缀和，可以将时间复杂度降至 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)。太菜了看不懂证明。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1e7+10;
int Q,n,m,prm[N],mu[N];
ll phi[N];
bool v[N];
map<int,ll> sphi,smu;

void findprm(int n)
{
	mu[1]=1; phi[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!v[i]) prm[++m]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			if (i>n/prm[j]) break;
			v[i*prm[j]]=1; mu[i*prm[j]]=-mu[i];
			if (i%prm[j]==0)
			{
				mu[i*prm[j]]=0; phi[i*prm[j]]=phi[i]*prm[j];
				break;
			}
			phi[i*prm[j]]=phi[i]*(prm[j]-1);
		}
	}
}

ll sumphi(int n)
{
	if (n<N) return phi[n];
	if (sphi[n]) return sphi[n];
	ll res=(1LL+n)*n/2;
	for (ll l=2,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		res-=sumphi(n/l)*(r-l+1);
	}
	return sphi[n]=res;
}

ll summu(int n)
{
	if (n<N) return mu[n];
	if (smu[n]) return smu[n];
	ll res=1;
	for (ll l=2,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		res-=summu(n/l)*(r-l+1);
	}
	return smu[n]=res;
}

int main()
{
	findprm(N-1);
	for (int i=1;i<N;i++)
		phi[i]+=phi[i-1],mu[i]+=mu[i-1];
	scanf("%d",&Q);
	while (Q--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld %lld\n",sumphi(n),summu(n));
	}
	return 0;
}