【洛谷P1967】货车运输

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1967
A 国有 \(n\) 座城市，编号从 $1 $ 到 $ n$，城市之间有 \(m\) 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。

现在有 \(q\) 辆货车在运输货物， 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。

思路

Kruskal 重构树模板题。
Kruskal 重构树一般解决的问题是“给出一张无向图，询问 \(x,y\) 两点之间所有路径中最短边长度最长的边的长度”。
我们将边权从大到小排序，在 Kruskal 求最大生成树时，如果 \(x',y'\) 两点并查集的根节点 \(x,y\) 不同，那么就建立一个新点 \(p\)，从 \(p\) 分别向 \(x\) 和 \(y\) 连边，然后将 \(x,y\) 两者的父亲都指向 \(p\)。点 \(p\) 的点权即为这条边的长度。
这样对于一组询问 \(x,y\)，我们直接在 Kruskal 重构树上求出其 LCA，答案显然就是该点的权值。
时间复杂度 \(O(Q\log n+m)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=20010,M=50010,LG=18;
int n,m,Q,tot,val[N],head[N],father[N],dep[N],f[N][LG+1];

struct edge1
{
	int u,v,dis;
}e1[M];

struct edge2
{
	int next,to;
}e2[M];

void add(int from,int to)
{
	e2[++tot]=(edge2){head[from],to};
	head[from]=tot;
}

bool cmp(edge1 x,edge1 y)
{
	return x.dis>y.dis;
}

int find(int x)
{
	return x==father[x]?x:father[x]=find(father[x]);
}

void kruskal()
{
	sort(e1+1,e1+1+m,cmp);
	for (int i=1;i<n*2;i++) father[i]=i;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=find(e1[i].u),y=find(e1[i].v);
		if (x!=y)
		{
			n++; val[n]=e1[i].dis;
			add(n,x); add(n,y);
			father[x]=father[y]=n;
		}
	}
}

void dfs(int x,int fa)
{
	dep[x]=dep[fa]+1; f[x][0]=fa;
	for (int i=1;i<=LG;i++)	
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	for (int i=head[x];~i;i=e2[i].next)
		dfs(e2[i].to,x);
}

int lca(int x,int y)
{
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&e1[i].u,&e1[i].v,&e1[i].dis);
	kruskal();
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (find(i)==i) dfs(i,0);
	scanf("%d",&Q);
	while (Q--)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if (find(x)!=find(y)) printf("-1\n");
			else printf("%d\n",val[lca(x,y)]);
	}
	return 0;
}