【YbtOJ#20082】导出子图

题目

题目链接：https://www.ybtoj.com.cn/contest/62/problem/4

思路

抠一张 YbtOJ 题解上的图

如果想要构成一棵树，那么一定不能有一个位置有三个序列覆盖。
那么我们看上图的 \(x\)，它下面的所有点区间左端点一定大于它上面的区间的右端点，并且它下面所有的区间两两交集为空。
所以先将所有区间按左端点排序，发现转移的时候我们只关心当前所选的区间最右到达哪里，那就可以 dp 求了。
设 \(f[i][j]\) 表示选完前 \(i-1\) 个区间，最右的区间右端点到达了 \(j\) 的方案数。分类讨论：

• 如果不选第 \(i\) 个物品，那么 \(f[i+1][j]\gets f[i][j]\)。
• 如果选第 \(i\) 个物品，且 \(r_i\leq j\)，那么 \(f[\mathrm{nxt}(r_i)]\gets f[i][j]\)。
• 如果选第 \(i\) 个物品，且 \(r_i>j\)，那么 \(f[\mathrm{nxt}(j)]\gets f[i][j]\)。

其中 \(\mathrm{nxt}(i)\) 表示第一个左端点在位置 \(i\) 后面的区间。
时间复杂度 \(O(nm)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2010,M=4010,MOD=1e9+7;
int n,ans,nxt[M],f[N][M];

struct node
{
	int l,r;
}a[N];

bool cmp(node x,node y)
{
	return x.l<y.l;
}

int main()
{
	freopen("graph.in","r",stdin);
	freopen("graph.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r);
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for (int i=1,j=1;i<=4000;i++)
	{
		while (j<=n && a[j].l<=i) j++;
		nxt[i]=j;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		f[i+1][a[i].r]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=4000;j++)
		{
			f[i+1][j]=(f[i+1][j]+f[i][j])%MOD;
			if (a[i].l>j) continue;
			if (a[i].r<=j) f[nxt[a[i].r]][j]=(f[nxt[a[i].r]][j]+f[i][j])%MOD;
				else f[nxt[j]][a[i].r]=(f[nxt[j]][a[i].r]+f[i][j])%MOD;
		}
	for (int i=1;i<=4000;i++)
		ans=(ans+f[n+1][i])%MOD;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}