【洛谷P3573】RAJ-Rally

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3573
请找到一个点，使得删掉这个点后剩余的图中的最长路径最短。

思路

先跑两遍拓扑排序求出以每一个点 \(x\) 结尾 / 开始的最长路长度 \(maxd[0/1][x]\)。
记 \(rk[i]\) 表示拓扑序在第 \(i\) 位的点 \(x\)，对于删去的点 \(x\)，最长路径长度应该是

\[\max\begin{Bmatrix}maxd[i],(rk[i]<rk[x]) \\maxd[j],(rk[j]>rk[x]) \\maxd[i]+maxd[j]+1,(rk[i]<rk[x],rk[j]>rk[x]) \end{Bmatrix}\]

按顺序枚举拓扑序，假设枚举到第 \(i\) 位，我们在处理完第 \(i-1\) 位的时候将上面所有可能成为最长路的路径长度扔到一个 multiset 中，如果删除 \(rk[i]\)，那么同时要删除的边即为 \(maxd[0][rk[i]]\) 和 \(maxd[0][rk[i]]+maxd[1][rk[j]]+1\ (j<i\) 且存在一条 \(j\) 到 \(i\) 的边 \()\)。
然后更新答案，再将 \(maxd[1][rk[i]]\) 和 \(maxd[1][rk[i]]+maxd[0][rk[j]]+1\ (j>i\) 且存在一条 \(i\) 到 \(j\) 的边 \()\) 扔到 multiset 中即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=500010,M=1000010;
int n,m,tot,ans0,ans1,head[2][N],maxd[2][N],deg[2][N],rk[N];
multiset<int> s;

struct edge
{
	int next,to;
}e[M*2];

void add(int from,int to,int id)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].next=head[id][from];
	head[id][from]=tot;
}

void topsort(int id)
{
	tot=0;
	queue<int> q;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (!deg[id][i]) q.push(i);
	while (q.size())
	{
		int u=q.front(); q.pop();
		rk[++tot]=u;
		for (int i=head[id][u];~i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			deg[id][v]--;
			maxd[id][v]=max(maxd[id][v],maxd[id][u]+1);
			if (!deg[id][v]) q.push(v);
		}
	}
}

int main()
{
	freopen("graph.in","r",stdin);
	freopen("graph.out","w",stdout);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y,0); deg[0][y]++;
		add(y,x,1); deg[1][x]++;
	}
	topsort(0); topsort(1);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		s.insert(maxd[0][i]);
	ans1=2e9; 
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=rk[i];
		s.erase(s.find(maxd[0][x]));
		for (int j=head[0][x];~j;j=e[j].next)
			s.erase(s.find(maxd[0][x]+maxd[1][e[j].to]+1));
		if (s.size() && *s.rbegin()<ans1)
			ans1=*s.rbegin(),ans0=x;
		s.insert(maxd[1][x]);
		for (int j=head[1][x];~j;j=e[j].next)
			s.insert(maxd[1][x]+maxd[0][e[j].to]+1);
	}
	printf("%d %d\n",ans0,ans1);
	return 0;
}