【CF786E】ALT
题目
题目链接:https://codeforces.com/problemset/problem/786/E
给出一棵 \(n\) 个点的树,有 \(m\) 个人,第 \(i\) 个人要从 \(a_i\) 走到 \(b_i\)。
树上的路径不是很安全,所以你可以给某一条边分配狗一条,或者给某一个人分配狗一条。
如果一个人有狗一条,或者这个人在树上所走过的每一条边都有狗一条,那么这个人是安全的。
求最少需要多少条狗使得所有人都是安全的。
思路
将原点向所有人连边,流量为 \(1\);所有边向汇点连边,流量为 \(1\)。
然后对于一个人的路径 \(a\to b\),设 \(\operatorname{lca}(a,b)=p\),那么需要将这个人向 \(a\to p\) 和 \(p\to b\) 中所有路连一条流量为 \(+\infty\) 的边。
但是这样边数是 \(O(nm)\) 的,发现将每个人上行和下行道路分开后,均是树上连续的边,所以可以用倍增连边。
具体的,将每一条边所对应网络图中的点拆成 \(\log\) 份,第 \(i\) 份表示该点开始往上 \(2^i\) 条边。
这样网络图中边数和点数就是 \(O((n+m)\log n)\) 的了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
using namespace std;
const int N=20010,LG=18,Inf=1e9;
int n,m,S,T,maxf,tot=1,f[N][LG+1],dep[N*LG*2],head[N*LG*2],cur[N*LG*2],rID[N];
vector<pair<int,int> > to[N];
struct edge
{
int next,to,flow;
}e[N*LG*10];
void add(int from,int to,int flow)
{
e[++tot].to=to;
e[tot].flow=flow;
e[tot].next=head[from];
head[from]=tot;
}
int ID(int x,int k)
{
return m+1+rID[x]+k*n;
}
void dfs(int x,int fa)
{
f[x][0]=fa; dep[x]=dep[fa]+1;
if (x!=1) add(ID(x,0),T,1),add(T,ID(x,0),0);
for (int i=1;i<=LG;i++)
{
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
if (f[x][i])
{
add(ID(x,i),ID(x,i-1),Inf); add(ID(x,i-1),ID(x,i),0);
add(ID(x,i),ID(f[x][i-1],i-1),Inf); add(ID(f[x][i-1],i-1),ID(x,i),0);
}
}
for (int i=0;i<to[x].size();i++)
if (to[x][i].first!=fa)
{
rID[to[x][i].first]=to[x][i].second;
dfs(to[x][i].first,x);
}
}
int lca(int x,int y)
{
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
if (x==y) return x;
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}
void addedge(int id,int x,int p)
{
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (dep[f[x][i]]>=dep[p])
{
add(id,ID(x,i),Inf); add(ID(x,i),id,0);
x=f[x][i];
}
}
struct Dinic
{
bool bfs()
{
memset(dep,0x3f3f3f3f,sizeof(dep));
memcpy(cur,head,sizeof(head));
queue<int> q;
q.push(S); dep[S]=0;
while (q.size())
{
int u=q.front(); q.pop();
for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (e[i].flow && dep[v]>dep[u]+1)
{
dep[v]=dep[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
return dep[T]<Inf;
}
int dfs(int x,int flow)
{
if (x==T)
{
maxf+=flow;
return flow;
}
int ret,used=0;
for (int i=cur[x];~i;i=e[i].next)
{
cur[x]=i;
int v=e[i].to;
if (e[i].flow && dep[v]==dep[x]+1)
{
ret=dfs(v,min(flow-used,e[i].flow));
e[i].flow-=ret; e[i^1].flow+=ret;
used+=ret;
if (used==flow) return flow;
}
}
return used;
}
void work()
{
while (bfs()) dfs(S,Inf);
}
void print()
{
queue<int> q;
for (int i=head[S];~i;i=e[i].next)
if (dep[e[i].to]>Inf) q.push(e[i].to);
printf("%d ",q.size());
for (;q.size();q.pop()) printf("%d ",q.front());
printf("\n");
for (int i=head[T];~i;i=e[i].next)
if (dep[e[i].to]<Inf) q.push(e[i].to-m-1);
printf("%d ",q.size());
for (;q.size();q.pop()) printf("%d ",q.front());
}
}dinic;
int main()
{
S=N*LG*2-1; T=N*LG*2-2;
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1,x,y;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
to[x].push_back(mp(y,i));
to[y].push_back(mp(x,i));
}
dfs(1,0);
for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
{
add(S,i,1); add(i,S,0);
scanf("%d%d",&x,&y);
int p=lca(x,y);
addedge(i,x,p); addedge(i,y,p);
}
dinic.work();
printf("%d\n",maxf);
dinic.print();
return 0;
}