【洛谷P2059】卡牌游戏

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2059
N个人坐成一圈玩游戏。一开始我们把所有玩家按顺时针从1到N编号。首先第一回合是玩家1作为庄家。每个回合庄家都会随机（即按相等的概率）从卡牌堆里选择一张卡片，假设卡片上的数字为X，则庄家首先把卡片上的数字向所有玩家展示，然后按顺时针从庄家位置数第X个人将被处决即退出游戏。然后卡片将会被放回卡牌堆里并重新洗牌。被处决的人按顺时针的下一个人将会作为下一轮的庄家。那么经过N-1轮后最后只会剩下一个人，即为本次游戏的胜者。现在你预先知道了总共有M张卡片，也知道每张卡片上的数字。现在你需要确定每个玩家胜出的概率。

这里有一个简单的例子：

例如一共有4个玩家，有四张卡片分别写着3,4,5,6.

第一回合，庄家是玩家1，假设他选择了一张写着数字5的卡片。那么按顺时针数1,2,3,4,1，最后玩家1被踢出游戏。

第二回合，庄家就是玩家1的下一个人，即玩家2.假设玩家2这次选择了一张数字6，那么2,3,4,2,3,4，玩家4被踢出游戏。

第三回合，玩家2再一次成为庄家。如果这一次玩家2再次选了6，则玩家3被踢出游戏，最后的胜者就是玩家2.

思路

先求出 \(g[i][j]\) 表示在有 \(i\) 个人且 \(1\) 号是庄家的时候，下一个处决的是 \(j\) 号的方案数。显然 \(\frac{g[i][j]}{m}\) 就是下一个处决 \(j\) 的期望。
然后设 \(f[i][j]\) 表示在剩余 \(i\) 个人且 \(1\) 号是庄家，最后第 \(j\) 个人获胜的期望。那么

\[f[i][j]=\sum^{i}_{k=1}([k\neq j]\times f[i-1][(j-k+n)\bmod n]\times\frac{g[i][k]}{m}) \]

记忆化搜索即可。时间复杂度 \(O(n^3)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=310;
const double eps=1e-12;
int n,m,a[N],g[N][N];
double f[N][N];

double dfs(int n,int x)
{
	if (n==1) return 1.0;
	if (fabs(f[n][x]-0)>eps) return f[n][x];
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (i!=x) f[n][x]+=dfs(n-1,(x-i+n)%n)*g[n][i]/m;
	return f[n][x];
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=2;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			g[i][(a[j]-1)%i+1]++;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		printf("%.2lf%c ",dfs(n,i)*100,37);
	return 0;
}