【洛谷P4285】汉诺塔

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4285
汉诺塔由三根柱子（分别用 A、B、C 表示）和 \(n\) 个大小互不相同的空心盘子组成。一开始 \(n\) 个盘子都摞在柱子 A 上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。 对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB 就是把柱子 A 最上面的那个盘子移到柱子 B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子 A 移动到柱子 B 或柱子 C 上面。 有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子 A 移动到另一根柱子：

1. 这种操作是所有合法操作中优先级最高的；
2. 这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。

可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

思路

可以感性理解按照上述移动方式，步骤数是一个一次函数（不会证
所以暴力求出 \(f[1],f[2],f[3]\)，然后递推即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=35;
int n;
ll f[N];
char move[10][5];
stack<int> a,b,c;

int solve()
{
	int last=0,sum=0;
	while (a.size() || (b.size() && c.size()))
	{
		for (int i=1;i<=6;i++)
		{
			bool flag=0;
			if (move[i][1]=='A' && move[i][2]=='B' && a.size() && a.top()!=last && (b.empty() || a.top()<b.top())) b.push(last=a.top()),a.pop(),flag=1;
			if (move[i][1]=='A' && move[i][2]=='C' && a.size() && a.top()!=last && (c.empty() || a.top()<c.top())) c.push(last=a.top()),a.pop(),flag=1;
			if (move[i][1]=='B' && move[i][2]=='A' && b.size() && b.top()!=last && (a.empty() || b.top()<a.top())) a.push(last=b.top()),b.pop(),flag=1;
			if (move[i][1]=='B' && move[i][2]=='C' && b.size() && b.top()!=last && (c.empty() || b.top()<c.top())) c.push(last=b.top()),b.pop(),flag=1;
			if (move[i][1]=='C' && move[i][2]=='A' && c.size() && c.top()!=last && (a.empty() || c.top()<a.top())) a.push(last=c.top()),c.pop(),flag=1;
			if (move[i][1]=='C' && move[i][2]=='B' && c.size() && c.top()!=last && (b.empty() || c.top()<b.top())) b.push(last=c.top()),c.pop(),flag=1;
			if (flag) break;
		}
		sum++;
	}
	return sum;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=6;i++)
		scanf("%s",move[i]+1);
	f[1]=1;
	a.push(2); a.push(1);
	f[2]=solve();
	while (a.size()) a.pop();
	while (b.size()) b.pop();
	while (c.size()) c.pop();
	a.push(3); a.push(2); a.push(1);
	f[3]=solve();
	int k=(f[3]-f[2])/(f[2]-f[1]),b=f[2]-f[1]*k;
	for (int i=4;i<=n;i++)
		f[i]=f[i-1]*k+b;
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}