【洛谷P5304】旅行者

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5304
J 国有 \(n\) 座城市，这些城市之间通过 \(m\) 条单向道路相连，已知每条道路的长度。

一次，居住在 J 国的 Rainbow 邀请 Vani 来作客。不过，作为一名资深的旅行者，Vani 只对 J 国的 \(k\) 座历史悠久、自然风景独特的城市感兴趣。
为了提升旅行的体验，Vani 想要知道他感兴趣的城市之间「两两最短路」的最小值（即在他感兴趣的城市中，最近的一对的最短距离）。

也许下面的剧情你已经猜到了——Vani 这几天还要忙着去其他地方游山玩水，就请你帮他解决这个问题吧。

思路

考虑将他喜欢的点拆成两部分，容易在 \(O(n\log n)\) 复杂度内求出一个集合的点到另一个集合的点的距离。
所以我们只需要拆分若干次，似的两个点至少在一次拆分中属于不同的集合。
那么可以按二进制下 0 和 1 来拆分，枚举二进制下每一位，这一位是 \(1\) 则扔到第一个集合中，如果是 \(0\) 则扔到第 \(2\) 个集合中。
时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100010,M=500010;
int Q,n,m,k,S,tot,head[N],a[N],U[M],V[M],D[M];
ll ans,dis[N];
bool vis[N];

struct edge
{
	int next,to,dis;
}e[(M+N)*2];

void add(int from,int to,int d)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].dis=d;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

void prework()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	tot=0; ans=1000000000000000000LL;
}

void dij()
{
	priority_queue<pair<ll,int> > q;
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	dis[S]=0; q.push(mp(0,S));
	while (q.size())
	{
		int u=q.top().second; q.pop();
		if (vis[u]) continue;
		vis[u]=1;
		for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			if (dis[v]>dis[u]+e[i].dis)
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i].dis;
				q.push(mp(-dis[v],v));
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&Q);
	S=N-1;
	while (Q--)
	{
		prework();
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
		for (int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			add(x,y,z);
		}
		for (int i=1;i<=k;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		for (int i=0;(1<<i)<=k;i++)
		{
			int id=(1<<i);
			head[S]=-1; tot=2*m;
			for (int j=1;j<=k;j++)
				if (j&id) add(S,a[j],0);
			dij();
			for (int j=1;j<=k;j++)
				if (!(j&id)) ans=min(ans,dis[a[j]]);
			
			head[S]=-1; tot=2*m;
			for (int j=1;j<=k;j++)
				if (!(j&id)) add(S,a[j],0);
			dij();
			for (int j=1;j<=k;j++)
				if (j&id) ans=min(ans,dis[a[j]]);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}