【洛谷P1447】能量采集

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1447
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有 \(n\) 列，每列有 \(m\) 棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标 \((x, y)\) 来表示，其中 \(x\) 的范围是 \(1\) 至 \(n\)，\(y\) 的范围是 \(1\) 至 \(m\)，表示是在第 \(x\) 列的第 \(y\) 棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是 \((0, 0)\)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有 \(k\) 棵植物，则能量的损失为 \(2k + 1\)。例如，当能量汇集机器收集坐标为 \((2, 4)\) 的植物时，由于连接线段上存在一棵植物 \((1, 2)\)，会产生 \(3\) 的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为 \(1\)。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中 \(n = 5\)，\(m = 4\)，一共有 \(20\) 棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了 \(36\) 的能量损失。

思路

容易发现点 \((x,y)\) 到点 \((0,0)\) 路径上有 \(\gcd(x,y)\) 个点（包括 \((x,y)\)）。所以答案为

\[\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}(2\gcd(i,j)-1)=2\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}\gcd(i,j)-nm \]

设 \(f(i)\) 表示 \(\gcd(x,y)=i\) 的方案数，有

\[f(i)=\sum^{\min(n,m)}_{i|d}\mu(\frac{d}{i})\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\lfloor \frac{m}{d}\rfloor \]

答案即为

\[ans=2\sum^{min(n,m)}_{i=1}\sum^{\min(n,m)}_{i|d}\mu(\frac{d}{i})\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\lfloor \frac{m}{d}\rfloor-nm \]

甚至不用整除分块，直接算即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100010;
int n,m,cnt,mu[N],prm[N];
ll ans,sum;
bool v[N];

void findprm(int n)
{
	mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!v[i])
			prm[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for (int j=1;j<=cnt;j++)
		{
			if (1LL*i*prm[j]>n) break;
			v[i*prm[j]]=1; mu[i*prm[j]]=-mu[i];
			if (!(i%prm[j]))
			{
				mu[i*prm[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	findprm(N-1);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=min(n,m);i++)
	{
		sum=0;
		for (int j=i;j<=min(n,m);j+=i)
			sum+=1LL*mu[j/i]*(n/j)*(m/j);
		ans+=sum*i;
	}
	printf("%lld\n",ans*2LL-1LL*n*m);
	return 0;
}