【洛谷P6186】[NOI Online 提高组] 冒泡排序

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P6186
给定一个 \(1 ∼ n\) 的排列 \(p_i\)，接下来有 \(m\) 次操作，操作共两种：

1. 交换操作：给定 \(x\)，将当前排列中的第 \(x\) 个数与第 \(x+1\) 个数交换位置。
2. 询问操作：给定 \(k\)，请你求出当前排列经过 \(k\) 轮冒泡排序后的逆序对个数。
   对一个长度为 \(n\) 的排列 \(p_i\) 进行一轮冒泡排序的伪代码如下：

for i = 1 to n-1:
  if p[i] > p[i + 1]:
    swap(p[i], p[i + 1])

思路

观察冒泡排序的伪代码，容易发现每一轮冒泡排序，会把最大的数移动到最后面，设 \(cnt[i]\) 表示第 \(i\) 个数前严格大于他的数字个数，手画一下可以发现，一轮冒泡排序会把每一个 \(cnt[i]>1\) 的 \(cnt[i]-1\)，对于 \(cnt[i]=0\) 的不变。
那么对于一个查询 \(k\) 轮冒泡排序之后的逆序对个数的操作，设冒泡前的逆序对数量为 \(sum\)，那么 \(k\) 轮排序后：

1. 若 \(cnt[i]\leq k\)，那么 \(cnt[i]\) 会清零，这一部分减少了 \(\sum_{cnt[i]\leq k} cnt[i]\) 个逆序对。
2. 若 \(cnt[i]>k\)，那么 \(cnt[i]\) 会减少 \(k\)，这一部分减少了 \(k\times \sum^{n}_{i=1}[cnt[i]>k]\) 个逆序对。

树状数组分别维护两者的前缀和即可。
对于修改操作，设修改位置 \(i\)，显然受影响的就只有 \(cnt[i]\) 和 \(cnt[i+1]\)。分类讨论 \(a[i]\) 与 \(a[i+1]\) 的大小即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=200010;
int n,m,opt,k,cnt0,a[N],cnt[N];
ll sum;

struct Bit
{
	ll c[N];
	Bit() { memset(c,0,sizeof(c)); }
	
	void add(int x,ll k)
	{
		if (!x) return;
		for (int i=x;i<=n;i+=i&-i)
			c[i]+=k;
	}
	
	ll ask(int x)
	{
		ll ans=0;
		for (int i=x;i;i-=i&-i)
			ans+=c[i];
		return ans;
	}
}bitc,bits,bit;

int main()
{
	freopen("data.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		cnt[i]=bit.ask(n)-bit.ask(a[i]);
		bit.add(a[i],1);
		bitc.add(cnt[i],1); bits.add(cnt[i],cnt[i]);
		sum+=cnt[i];
		if (!cnt[i]) cnt0++;
	}
	while (m--)
	{
		scanf("%d%d",&opt,&k);
		if (opt==1)
		{
			bitc.add(cnt[k],-1); bits.add(cnt[k],-cnt[k]);
			bitc.add(cnt[k+1],-1); bits.add(cnt[k+1],-cnt[k+1]);
			if (a[k]>a[k+1])
			{
				cnt[k+1]--; sum--;
				if (!cnt[k+1]) cnt0++;
			}
			if (a[k]<a[k+1])
			{
				if (!cnt[k]) cnt0--;
				cnt[k]++; sum++;
			}
			swap(cnt[k],cnt[k+1]); swap(a[k],a[k+1]);
			bitc.add(cnt[k],1); bits.add(cnt[k],cnt[k]);
			bitc.add(cnt[k+1],1); bits.add(cnt[k+1],cnt[k+1]);
		}
		else
		{
			if (k>n) k=n;
			ll ans1=bits.ask(k);
			ll ans2=1LL*(n-bitc.ask(k)-cnt0)*k;
			printf("%lld\n",sum-ans1-ans2);
		}
	}
	return 0;
}