【洛谷P2973】Driving Out the Piggies

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2973
给定一张 \(n\) 个点的无向图，一开始 \(WYCdalao\) 在 1 号节点，每次这个点有 \(\frac{p}{q}\) 的概率停止，\((1-\frac{p}{q})\) 的概率随机走一条与该点相邻的边。求 \(WYCdalao\) 最终在每一个节点停止的期望。
\(2\leq n\leq 300\)

思路：

这种数据小的期望题很有可能考的就是高斯消元。
首先如果我们经过了一个点 \(k\) 次，那么在这个点停止的概率就是 \(\frac{kp}{q}\)。
设 \(f[x]\) 表示到达点 \(x\) 的期望次数，那么有

\[f[x]=\sum_{(x,y)}\frac{(1-\frac{p}{q})f[y]}{deg[y]} \]

其中 \(deg[x]\) 表示 \(x\) 的度数。初始化 \(f[x]=1\)。
这个方程有后效性，所以把等号右边移项到左边，就是高斯消元板子了。
时间复杂度 \(O(n^3+m)\)

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long double ld;

const int N=310,M=45000;
const ld zero=1e-14;
int n,m,deg[N];
ld p,q,a[N][N];

struct edge
{
	int u,v;
}e[M];

void gauss()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
			if (a[i][j]>zero)
			{
				for (int k=1;k<=n;k++)
					swap(a[j][k],a[i][k]);
				break;
			}
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			ld rate=a[j][i]/a[i][i];
			for (int k=0;k<=n;k++)
				a[j][k]-=a[i][k]*rate;
		}
	}
	for (int i=n;i>=1;i--)
	{
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
			a[i][0]-=a[j][0]*a[i][j];
		a[i][0]/=a[i][i];
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	scanf("%Lf%Lf",&p,&q);
	p/=q;
	for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		e[i].u=x; e[i].v=y;
		deg[x]++; deg[y]++;
	}
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=e[i].u,y=e[i].v;
		a[x][y]=-(1.0-p)/deg[y];
		a[y][x]=-(1.0-p)/deg[x];
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		a[i][i]=1;
	a[1][0]=1;
	gauss();
	for (int i=1;i<=n;i++)
		printf("%0.9Lf\n",a[i][0]*p);
	return 0;
}