【GMOJ4016】圈地为王
题目
题目链接:https://gmoj.net/senior/#main/show/4016
在 \(n\) 行 \(m\) 列的网格中,你要圈一些地。
你从左上角出发,最后返回左上角,路径内部的区域视为被你圈住。 你不可以进入网格内部, 只能在边上行走。 你的路径不能在左上角以外自交, 但是边足够宽, 你可以重复经过而不自交。
网格中有一些格子对你很重要,你要尽量圈住它;而另一些格子对你有坏处,你不能圈住它。
求圈住 \(i\) 个重要的格子的最小路径长度。
思路
这道题挺妙的。
考虑如果一个格子正上方的边经过了奇数次,那么这个点最终就被围住了,如果它上方的点经过了偶数次,那么就没有被围住。
由于特殊点(重要点+坏点)只有\(10\)个。考虑状压。
设\(f[i][j][S]\)表示现在走到点\((i,j)\),每一个重要点的上方经过的次数的奇偶性为\(S\)的最少步数。
那么可以\(bfs\)转移,注意维护\(S\)即可。
时间复杂度\(O(2^knm)\),其中\(k\)表示特殊点的个数。
代码
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=55,MAXN=1025,Inf=1e9;
const int dx[]={0,0,0,-1,1},dy[]={0,-1,1,0,0};
int n,m,cnt,Sbad,f[N][N][MAXN],S[N][N],id[N][N],ans[N];
char a[N][N];
queue<int> qx,qy,qs;
void bfs()
{
memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
f[1][1][0]=0;
qx.push(1); qy.push(1); qs.push(0);
while (qx.size())
{
int x=qx.front(),y=qy.front(),s=qs.front();
qx.pop(); qy.pop(); qs.pop();
for (int i=1;i<=4;i++)
{
int xx=x+dx[i],yy=y+dy[i],ss;
if (yy!=y) ss=s^S[x][min(y,yy)];
else ss=s;
if (xx<1 || yy<1 || xx>n || yy>m || f[xx][yy][ss]<Inf) continue;
f[xx][yy][ss]=f[x][y][s]+1;
qx.push(xx); qy.push(yy); qs.push(ss);
}
}
}
int main()
{
for (int i=1;scanf("%s",a[i]+1)>0;i++) n++;
m=strlen(a[1]+1)+1; n++;
for (int i=1;i<n;i++)
for (int j=1;j<m;j++)
if (a[i][j]!='.')
{
id[i][j]=++cnt;
if (a[i][j]=='X') Sbad|=(1<<id[i][j]-1);
for (int k=1;k<=i;k++)
S[k][j]|=(1<<id[i][j]-1);
}
bfs();
memset(ans,0x3f3f3f3f,sizeof(ans));
for (int i=1;i<(1<<cnt);i++)
if (!(i&Sbad))
{
int s=0;
for (int j=i;j;j>>=1) s+=(j&1);
ans[s]=min(ans[s],f[1][1][i]);
}
for (int i=1;ans[i]<Inf;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}