【GMOJ3860】地壳运动

题目

题目链接：https://gmoj.net/senior/#main/show/3860
有\(n\)个点，\(m\)条边，每一条边可以用\((x,y,u,v)\)表示，表示一条连接\(x,y\)的边的长度为\(k_1x+k_2y\)。接下来\(q\)组询问，每次询问给出\(k_1,k_2\)，求此时的最小生成树。
\(n\leq 35,m\leq 25000,q\leq 200000\)。

思路

写的是暴力\(O(m^2+qn^2)\)的算法。鉴于这道题时限\(5s\)且\(GMOJ\)很快，而且复杂度远远跑不满，这样的暴力算法是可以过的。
先把一条边的长度\(=k_1x+k_2y\)全部除以\(k_1\)，变成\(x+\frac{k_2}{k_1}y\)。显然这样两条边之间的大小关系不变。
我们考虑连接两个点\(x,y\)的所有边，求出\(k1,k2\)在什么区间内时满足这条边是连接\(x,y\)的所有边中最小的。
如果两条边\((x,y,u_1,v_1)(x,y,u_2,v_2)\)满足前者比后者短，那么

• 如果\(u_1\leq u_2\)且\(v_1\leq v_2\)，那么\(k_1,k_2\)取任意正数均成立。
• 如果\(u_1<u_2,v_1>v_2\)，那么有\(u_1+v_1\frac{k_2}{k_1}<u_2+v_2\frac{k_2}{k_1}\)，即\(\frac{k_2}{k_1}<\frac{u_1-u_2}{v_2-v_1}\)。
• 如果\(u_1>u_2,v_1<v_2\)，那么同理有\(\frac{k_2}{k_1}>\frac{u_1-u_2}{v_2-v_1}\)。
  那么这样就可以在均摊\(O(m^2)\)的时间复杂度内求出\(k1,k2\)在什么区间内时满足这条边是连接\(x,y\)的所有边中最小的。

接下来我们把询问按\(\frac{k_2}{k_1}\)从大到小排序，然后枚举两个点\(x,y\)，利用上文求出来的对应区间，指针扫描出最短的路，然后跑\(Prim\)即可。
千万注意求最小生成树不能使用\(Kruskal\)，因为\(Kruskal\)需要将道路长度排序，这样就多了一个\(log\ (n^2)\)的复杂度，使用\(Prim\)可以稳定\(O(n^2)\)。
时间复杂度\(O(m^2+qn^2)\)。

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=41,M=25011,Q=200011;
int n,m,T,tot,pos[N][N],father[N],head[N][N],maxxx;
double k1,k2,ans[Q],dis[N][N];
bool vis[N];

inline int read()
{
	int d=0; char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) d=(d<<3)+(d<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return d;
}

struct node
{
	double u,v,l,r;
	int next;
}road[M]; 

struct Query
{
	int id;
	double k,k2,k1;
}ask[Q];

struct edge
{
	int from,to,u,v;
	double minn,maxn;
}e[M];

inline bool cmp1(edge x,edge y)
{
	if (x.from<y.from) return 1;
	if (x.from>y.from) return 0;
	return x.to<y.to;
}

inline bool cmp2(Query x,Query y)
{
	return x.k<y.k;
}

inline int find(int x)
{
	return x==father[x]?x:father[x]=find(father[x]);
}

inline double mst()
{
	double sum=0.0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		dis[0][i]=dis[1][i],vis[i]=0;
	dis[0][0]=1000000000000.0; vis[1]=1;
	for (int j=1;j<n;j++)
	{
		int Pos=0;
		for (int i=2;i<=n;i++)
			if (!vis[i] && dis[0][i]<dis[0][Pos]) Pos=i;
		vis[Pos]=1; sum+=dis[0][Pos];
		for (int i=1;i<=n;i++) 
			if (!vis[i]) dis[0][i]=min(dis[0][i],dis[Pos][i]);
	}
	return sum;
}

int main()
{
	n=read(); m=read(); T=read();
	for (register int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x=read(),y=read(),u=read(),v=read();
		if (x>y) swap(x,y);
		e[i].from=x; e[i].to=y; e[i].u=u; e[i].v=v;
		e[i].maxn=1000000000000.0; e[i].minn=0.0; 
	}
	sort(e+1,e+1+m,cmp1);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for (register int l=1,r=1;r<=m;l=r=r+1)
	{
		while (e[r+1].from==e[l].from && e[r+1].to==e[l].to) r++;
		for (register int i=l;i<=r;++i)
			for (register int j=i+1;j<=r;++j)
			{
				if (e[i].u<=e[j].u && e[i].v<e[j].v)
					e[j].minn=1000000000000.0,e[j].maxn=0.0;
				else if (e[i].u>=e[j].u && e[i].v>e[j].v)
					e[i].minn=1000000000000.0,e[i].maxn=0.0;
				else if (e[i].v<=e[j].v && e[i].u<e[j].u)
					e[j].minn=1000000000000.0,e[j].maxn=0.0;
				else if (e[i].v>=e[j].v && e[i].u>e[j].u)
					e[i].minn=1000000000000.0,e[i].maxn=0.0;
				else if (e[i].u<e[j].u)
				{
					e[i].maxn=min(e[i].maxn,1.0*(e[i].u-e[j].u)/(e[j].v-e[i].v));
					e[j].minn=max(e[j].minn,1.0*(e[i].u-e[j].u)/(e[j].v-e[i].v));
				}
				else if (e[i].u>e[j].u)
				{
					e[i].minn=max(e[i].minn,1.0*(e[i].u-e[j].u)/(e[j].v-e[i].v));
					e[j].maxn=min(e[j].maxn,1.0*(e[i].u-e[j].u)/(e[j].v-e[i].v));
				}
			}
		for (register int i=l;i<=r;++i)
			for (register int j=i+1;j<=r;++j)
				if (e[i].minn<e[j].minn) swap(e[i],e[j]);
		for (register int i=l;i<=r;++i)
			if (e[i].maxn>=e[i].minn)
			{
				road[++tot].l=e[i].minn; road[tot].r=e[i].maxn;
				road[tot].u=e[i].u; road[tot].v=e[i].v;
				road[tot].next=head[e[i].from][e[i].to];
				head[e[i].from][e[i].to]=tot;
			}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
			pos[i][j]=head[i][j];
	for (register int i=1;i<=T;++i)
	{
		scanf("%lf%lf",&k1,&k2);
		ask[i].k=k2/k1; ask[i].id=i;
		ask[i].k1=k1; ask[i].k2=k2;
	}
	sort(ask+1,ask+1+T,cmp2);
	for (register int k=1;k<=T;k++)
	{
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=n;j++)
				dis[i][j]=1000000000000.0;
		tot=0; k1=ask[k].k1; k2=ask[k].k2;
		for (register int i=1;i<=n;++i)
			for (register int j=i+1;j<=n;++j)
			{
				for (;~pos[i][j];pos[i][j]=road[pos[i][j]].next)
					if (road[pos[i][j]].r>=ask[k].k) break;
				if (road[pos[i][j]].l<=ask[k].k && road[pos[i][j]].r>=ask[k].k)
					dis[i][j]=dis[j][i]=road[pos[i][j]].u*k1+road[pos[i][j]].v*k2;
			}
		ans[ask[k].id]=mst();
	}
	for (register int i=1;i<=T;++i)
		printf("%0.3lf\n",ans[i]);
	return 0;
}