【洛谷P3306】随机数生成器

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3306
小W喜欢读书，尤其喜欢读《约翰克里斯朵夫》。最近小W准备读一本新书，这本书一共有\(P\)页，页码范围为\(0 \cdots P-1\)。
小W很忙，所以每天只能读一页书。为了使事情有趣一些，他打算使用NOI2012上学习的线性同余法生成一个序列，来决定每天具体读哪一页。
我们用Xi来表示通过这种方法生成出来的第\(i\)个数，也即小\(W\)第\(i\)天会读哪一页。这个方法需要设置\(3\)个参数\(a,b,X1\)，满足\(0\leq a,b,X1\leq p-1\)，且\(a,b,X1\)都是整数。按照下面的公式生成出来一系列的整数：\(X_{i+1} \equiv aX_i+b \pmod p\)其中\(mod\)表示取余操作。
但是这种方法可能导致某两天读的页码一样。
小W要读这本书的第\(t\)页，所以他想知道最早在哪一天能读到第t页，或者指出他永远不会读到第\(t\)页。

思路

题目意思就是给你一个递推式\(X_i=aX_{i-1}+b\)和\(X_1\)，让你求一个最小的\(i\)使得\(X_i\equiv t \pmod p\)。
大力推柿子，容易得到

\[X_i=a^{i-1}X_1+a^{i-2}b+a^{i-3}b+...+b \]

我们发现所有含有\(b\)的项是一个等比数列，所以可以用等比数列求和公式化简。

\[X_i=a^{i-1}X_1+\frac{a^{i-1}b-b}{a-1} \]

也就是要求

\[t\equiv a^{i-1}X_1+\frac{a^{i-1}b-b}{a-1} \pmod p \]

在这个柿子中，只有\(a^{i-1}\)是未知的。所以考虑化简出\(a^{i-1}\)。

\[t+\frac{b}{a-1}\equiv a^{i-1}X_1+\frac{a^{i-1}b}{a-1} \pmod p \]

\[t+\frac{b}{a-1}\equiv a^{i-1}(X_1+\frac{b}{a-1}) \pmod p \]

所以

\[a^{i-1}\equiv \frac{t+\frac{b}{a-1}}{X_1+\frac{b}{a-1}}\pmod p \]

\[a^{i-1}\equiv \frac{ta-t+b}{X_1a-X_1+b}\pmod p \]

用\(BSGS\)求出\(i-1\)即可。

需要特判以下几点：

1. 当\(X_1=t\)时，答案就是1。
2. 当\(a=0\)时，第一天已经在\((1)\)中特判了，从第二天起，页码都是\(b\)。所以如果\(b=t\)答案即为2，否则无解。
3. 当\(a=1\)时

• 如果\(b=0\)，那么每天页码都是\(X_1\)，所以若\(X_1≠t\)则无解
• 如果\(b>0\)，那么有\(X_1+xb\equiv t \pmod p\)，即\(x\equiv \frac{t-X_1}{b}\pmod p\)，用费马小定理即可求出\(x\)。

代码

#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll p,a,b,x1,t;
int T;
map<int,int> hash;

ll power(ll x,ll k,ll MOD)
{
	ll ans=1;
	x%=MOD;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
		if (k&1) ans=ans*x%MOD;
	return ans;
}

ll BSGS()
{
	hash.clear();
	t=ceil(sqrt(p));
	for (int i=0;i<=t;i++)
		hash[b*power(a,i,p)%p]=i;
	a=power(a,t,p);
	for (int i=1;i<=t;i++)
	{
		ll val=power(a,i,p);
		if (hash[val]) return ((i*t-hash[val])%p+p)%p;
	}
	return -2;
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x1,&t);
		if (x1==t) printf("1\n");
		else if (!a)
		{
			if (b==t) printf("2\n");
				else printf("-1\n");
		}
		else if (a==1)
		{
			if (!b) printf("-1\n");
				else printf("%lld\n",((t-x1)%p+p)%p*power(b,p-2,p)%p+1);
		}
		else
		{
			b=(t*a-t+b)%p*power(x1*a-x1+b,p-2,p)%p;
			printf("%lld\n",BSGS()+1);
		}
	}
	return 0;
}