数值分析 读书笔记

经廖博这位大神的推荐，我阅读了由Timothy Sauer著作的《数值分析》一书，本书浅显易懂，条理清晰，让我这种数学白痴也能看的懂，适合自学。

数值分析这门工科研究生一般要上的课是干什么的？ 数值分析，简单的来说，就是讲数学问题(如高数中的微分积分，微分方程)，怎么用计算机求解的。 如解方程，X2-1=0。如果在纸上算，能很快的算出x=1或者-1，但是计算机不能这样算，计算机需要用对分法一直计算直到算出解，并不是如在纸上算那么简单。

1. 解方程与解方程组

       解方程就是解单个方程的解。解方程组就是解多个方程的组合解，有线性方程组和非线性方程组，可以采用解矩阵的方式求解，基础是高斯消去法，至于解矩阵的优化方式很多，如矩阵分解，考虑正定矩阵。

2. 插值

      输入几个点的数据，通过插值算法找出符合点数据的方程。 包括多项式插值与样条法。

3.最小二乘拟合

      和插值有点像，但是插值没有考虑噪声点，而且点数目很多的时候并不是很合适。最小二乘，就是拟合后的误差用差平方和来表示，误差最小的，就是拟合最好的。

4. 微分积分

      顾名思义，就是用来解微分积分的。

5. 常微分方程

     对常微分不了解的，请翻高等数学课本。常微分未知函数y是一元的方程。

     常微分方程很多情况下有无限多的解，不过本书中常微分方程的分两种问题：初值问题和边值问题。这两个问题都是给定一些约束条件，来求解在约束条件下的常微分问题的特解的。

      初值问题（IVP）是给定解空间左端的初始条件。

      边界问题（BVP）会给出解区间的两端的边界条件。

      边界问题两种方法解决：打靶法和有限差分方法。

       打靶法是将边界问题转变为初值问题。

       有限差分方法则是将边界问题转变为线性或者非线性方程组。 这样用前面的方法就可以解决。

6. 偏微分方程

       偏微分方程的未知函数y是一元以上的方程。

        主要讨论了三类两自变量二姐偏微分方程：

     a. 抛物型，代表扩散系统

     b. 双曲型，代表有波动方程

     c. 椭圆形，模拟定常状态。

7. 随机数

     随机数生成的算法问题。

    主要有均匀分布的随机数生成和高斯分布随机数，伪随机数的生成独立性，拟随机数则不是。

    伪随机数生成算法有（线性同余生成元），其有很多形式。 比较好的是最小标准随机数生成元，比较差的是randu的。周期越长愈好。

    高斯分布的随机数基于均匀分布的随机数生成器。

    主要应用在于蒙特卡洛模拟。

 

8. 最优化问题

    很多问题都可以转变为最优化问题，最优化的技术很多，单变量，多变量，约束等等，不过本书讲的优化问题，是最能让人懂的。估计这也是这本书的定位：入门