图论--最小生成树总结（Prim&&Kruskal）
今天才写了prim的堆优化，发现kruskal居然比prim跑得快。。。
回归正题：
以下是我个人对最小生成树各种算法的理解，以及我的代码。
以下我将点数称为n，边数称为m；
Prim
算法过程（来自百度百科）：
1. 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2. 初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3. 重复下列操作，直到Vnew = V：
- a.在集合E中选取权值最小的边< u, v >，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
- b.将v加入集合Vnew中，将< u, v >边加入集合Enew中；
4. 输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
然后以下是我自己的解释：
初始时任选一个起点，并加入点集；
不断将离访问过的点集最近的未访问的点连边（或者说选最短的边），加入点集中，并将连边加入边集（或累加答案）；
这样进行n-1次，每次加入一个点和一条边，结束后就会形成一棵n个节点，n-1条边的树；
正确性我也懒得证了，自己百度看吧。
时间复杂度：O(nm)
代码就不用看了，这个复杂度完全无法接受，必须优化；
Prim–堆优化
对于上面的过程，最有优化余地的一步是什么呢？
不断将离访问过的点集最近的未访问的点连边（或者说选最短的边）
很明显，粗体字部分可以优化（一般来说，将求最小值或最大值从n优化至logn级别都是常见的优化）；
具体方法就是将有可能扩展的边都放入一个小根堆中，每次取最小的，这样可以将每次取最小值的过程优化至log级别的；（不知道堆的同学可以自行百度）
时间复杂度：低于O(nlogm)
手写堆又会增加编程复杂度，我们可以使用c++自带的优先队列（priority_queue），这就是一个堆；
priority_queue< T > （T为类型）（后面括号内为时间复杂度）
1. T top(void)：返回堆顶（即最值）；（1）
2. void pop(void)：弹出堆顶；（logn）
3. void push(T)：压入新元素；（logn）
4. bool empty(void)：如果堆为空返回true，否则返回false；（1）
5. int size(void)：返回堆的元素数量；（1）
另一种定义方式：（建议）
priority_queue< T , vector< T > ,less< T > > （大根堆）
priority_queue< T , vector< T > ,greater< T > > （小根堆）
用自定义类型的前提是那个类型有定义小于号（大根堆）/ 大于号（小根堆）
关于比较符号定义可以看我的代码；
我的代码：
//此题来自洛谷P3366 【模板】最小生成树，是一道模板题，大家可以去做一下。
//我这里存边用的是邻接表，省空间，也方便；
//也可以用vector来存边
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge{ //自定义边类
int to,next,w;
bool operator > (const edge& y) const { //大于号
return w>y.w;
}
}e[400001];
int n,m,tot;
int head[5001]; //邻接表用
int vis[5001]; //标记点是否访问过
priority_queue<edge,vector<edge>,greater<edge> > q; //小根堆
void addedge(int x,int y,int l){ //加边
tot++;
e[tot].to=y;
e[tot].next=head[x];
e[tot].w=l;
head[x]=tot;
}
int prim(){ //我这里将1作为起点
for(int i=head[1];i;i=e[i].next){ //将1的邻边都放入优先队列
q.push(e[i]);
}
vis[1]=1;
int ans=0;
int left=n-1; //剩余需要加边数
while(left&&!q.empty()){
edge t=q.top();
q.pop();
if(vis[t.to]){
continue;
}
ans+=t.w;
left--;
int u=t.to;
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].to;
if(!vis[v]){
q.push(e[i]);
}
}
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,l;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&l);
addedge(x,y,l);
addedge(y,x,l);
}
int ans=prim();
printf("%d",ans);
return 0;
}Kruskal
算法过程（来自百度百科）：
先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取（会出现环），而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。
我的描述：
将边排序后，从小到大只要不形成环就加边，直到加够n-1条边为止。
正确性很显然，可以自己去看一下具体证明。
时间复杂度（暴力判环）：低于O(m^2)
很明显，判环这里可以用并查集优化到近似O(1)，那么算法的时间就都会集中在对边进行排序上，时间也就是排序的时间；
时间复杂度（并查集判环）：O(mlogm)
这样的复杂度在稀疏图优于Prim，稠密图劣于Prim，自己酌情使用。
Kruskal的好处在于它极易编写，而Prim编写难度较高。
下来看代码吧：
//这题也是洛谷P3366，大家可以再写一次Kruskal交一次。
#include<bits/stdc++.h>
#define inf 2000000000
using namespace std;
struct edge{
int a,b,w;
}e[200001];
int n,m;
int f[5001];
int sum=0;
int find(int x){ //并查集
return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}
void add(int i,int x,int y,int l){
e[i].w=l;
e[i].a=x;
e[i].b=y;
}
int cmp(edge x,edge y){
return x.w<y.w;
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=i;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,l;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&l);
add(i,x,y,l);
}
sort(e+1,e+m+1,cmp);
int tot=0;
//Kruskal的主体只有这一个循环
for(int i=1;i<=m&&tot<=n-1;i++){
if(find(e[i].a)!=find(e[i].b)){ //判环
sum+=e[i].w;
f[find(e[i].a)]=find(e[i].b);
tot++;
}
}
if(tot==n-1){
cout<<sum;
}
else{
cout<<"orz";
}
return 0;
}交了之后不出意外应该是Kruskal略快于Prim，这是因为这题m较小。
不过，Kruskal一般情况都足够了，具体看数据范围。
以上便是我对最小生成树的总结。
end
