暑假D17 T3 简单题2（莫比乌斯反演）

题目描述

珈百璃刚刚学习了莫比乌斯反演，想再做一道简单题练练手。
设$\sigma _{0}\left ( x \right )$为$x$ 的约数个数，给出$N$ 和$M$，求：
$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\sigma _{0}\left ( ij \right )$
对于100%的数据,$T\leq 50000,1\leq N,M \leq50000$

题解

首先有一个性质$\sigma _{0}\left(ij\right)= \sum_{x|i}\sum_{y|j}\left [ gcd\left(x,y \right )=1 \right ]$
那么答案就是$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M} \sum_{x|i}\sum_{y|j}\left [ gcd\left(x,y \right )=1 \right ]$
先枚举$x,y$,$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\left [ gcd\left(i,j \right )=1 \right ]\left \lfloor \frac{N}{i} \right \rfloor\left \lfloor \frac{M}{j} \right \rfloor$
再进行反演，$\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum_{i=1}^{\frac{N}{d}}\left \lfloor \frac{N}{di} \right \rfloor\sum_{j=1}^{\frac{M}{d}}\left \lfloor \frac{M}{dj} \right \rfloor$
记$f(i)=\sum_{j=1}^{i}\left \lfloor \frac{i}{j} \right \rfloor$
我们要求的就是$\sum_{i=1}^{min(n,m)}\mu(i)*f(\left \lfloor \frac{N}{i} \right \rfloor)*f(\left \lfloor \frac{M}{i} \right \rfloor)$
预处理$f$数组就ok了，其实$f(n)$数组也就是$[1,n]$的约数和，因为可以看做是枚举约数$j$.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
const int maxn=50006;
int t,n,m;
int cnt,prime[maxn],mu[maxn];
ll f[maxn],ans[6006][6006];
bool not_prime[maxn];

void init(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=50000;i++){
        if(!not_prime[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;prime[j]*i<=50000;j++){
            not_prime[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
        mu[i]+=mu[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=50000;++i) 
     for(ll l=1,r;l<=i;l=r+1){
        r=i/(i/l);
        f[i]+=(r-l+1)*(i/l);
    }
}

int main(){
    freopen("c.in","r",stdin);
    freopen("c.out","w",stdout);
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        ll ret=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m) swap(n,m);
        if(n<=6000&&m<=6000&&ans[n][m]){
            printf("%lld\n",ans[n][m]);
            continue;
        }
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ret+=(mu[r]-mu[l-1])*f[n/l]*f[m/l];
        }
        if(n<=6000&&m<=6000) ans[n][m]=ans[m][n]=ret;
        printf("%lld\n",ret);
    }
}