2022 年 8月随笔档案 - zqs2020

摘要：这是道有趣的观察性质题，可惜我没有脑子。看到这个 dp 形式就非常整体二分，所以它就是整体二分（雾我们先令

c (i, j)

$c(i,j)$ 表示

i \leq x < y \leq j, gcd (x, y) \geq i

$i\le x<y\le j,\gcd(x,y)\ge i$ 的数量，输出时

+ n

$+n$ 即可。

c (i, j)

$c(i,j)$ 的值在一些基本的转化后变为 $\sum\limits

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CF765F

摘要：分块。

f [i] [j]

$f[i][j]$ ：

i

$i$ 一直到第

i

$i$ 所在块

x

$x$ 尾端，对

x + 1 \sim j

$x+1\sim j$ 块造成贡献/

i

$i$ 一直到

i

$i$ 所在块

x

$x$ 开头，对

j \sim x - 1

$j\sim x-1$ 块造成贡献。

m n [i] [j]

$mn[i][j]$ ：块

i \sim j

$i\sim j$ 的答案。预处理：块内元素排序，双指针求

f

$f$

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题解树套树

摘要：题面二叉查找树（BST）是一种简单的数据结构，本题默认你已经熟悉BST的插入和查询两种操作。给你一棵树，每个节点有一个BST。有以下两种操作：

u, v, k

$u,v,k$ ：在路径

(u, v)

$(u,v)$ 上每个节点的BST中插入

k

$k$ 。

u, k

$u,k$ ：询问节点

u

$u$ 的BST中查询

k

$k$ 时经过节点的权值和

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[联合省选2021 A卷] 图函数

摘要：经典套路还是不熟练啊。首先有一个显然的性质就是在计算

f (u, G)

$f(u,G)$ 时我们可以当成

v

$v$ 以前的点都删了。假设有一个

v

$v$ 之前的点没被删，如果

v

$v$ 可以通过这个点走到

u

$u$ ，那么

u

$u$ 一定无法走到

v

$v$ ；如果

u

$u$ 可以通过这个点走到

v

$v$ ，那

v

$v$ 一定无法走到 $

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[ZJOI2019]语言

摘要：先讲一个智障 3log 做法，听说考场上不止一个人写还都过了。树剖，转化为

(u, v)

$(u,v)$ 的

d f s

$dfs$ 序若都在一个区间内则它们可以开展贸易活动。相当于求矩形总面积，可以扫描线。每次树剖会拆分出

O (\log n)

$O(\log n)$ 个区间，也即

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$ 个矩形。时间复杂度 $O(n\l

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ARC144C

摘要：经典结论，集合大小不超过

n + 1

$n+1$ 。考虑往一个当前满足条件的集合里面加元素。对于原集合里的任意一个大小为奇数的子集，它的异或和不能与当前加入元素相等。而由于这个集合当前满足条件，因此它的任意一个大小为奇数的子集异或和均不同。所以能加入的数字个数就是

2^{n}

$2^n$ 减去该集合奇数子集数量。 dp

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CF1718C Tonya and Burenka-179

摘要：显然只需要考虑

k | n

$k\vert n$ 。如果直接维护是

O (n d (n) \log n)

$O(nd(n)\log n)$ 的，很寄。可以证明如果

\frac{n}{k}

$\frac{n}{k}$ 不是素数则不优。这个很好理解，比如对于

n = 12, k = 2, 6

$n=12,k=2,6$ ，所有

k = 2

$k=2$ 的方案一定可以被三个

k = 6

$k=6$ 的走法完全覆盖，而且这三个走法平均数还和

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Codeforces Round #815 (Div. 2)

摘要：C 注意到在第一次取掉一个L后，剩下的L都可以做到只消耗一个 1。因为如果第一次取掉的L耗费不为 1，则消除后周围一定仍有 1，且这个 1 与消掉的 L 紧密相连。所以我们只需要判断最小的取第一个L的花费。这个很容易做到。 D1 由于值域的限制，dp 转移只需要考虑前面

256

$256$ 个位置就行了

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CF1712E2的双log解法

摘要：令

x = lcm (i, j, k) (i < j < k)

$x=\operatorname{lcm}(i,j,k)(i<j<k)$ 。如果

x < i + j + k

$x<i+j+k$ ，那么

x = k

$x=k$ 或

2 k

$2k$ 。如果

x = k

$x=k$ ，有

i | k, j | k

$i\vert k,j\vert k$ 。离线后很容易树状数组计算。如果

x = 2 k

$x=2k$ ，令

x = 2^{a} p

$x=2^ap$ ，则

2^{a} | i

$2^a\vert i$

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「THUPC 2019」不等式

摘要：题意：给你

a, b

$a,b$ ，对于每个

k

$k$ 求

f_{k} (x) = \sum_{i = 1}^{k} | a_{i} x + b_{i} |

$f_k(x)=\sum\limits_{i=1}^k\vert a_ix+b_i\vert$ 的最小值。题解：

a_{i} x + b_{i} = a_{i} (x + b_{i} / a_{i})

$a_ix+b_i=a_i(x+b_i/a_i)$ ，然后随便搞一搞就好了。

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Codeforces Round #809 (Div. 2)

摘要：VP的。这场 C 是真的恶心，还好一发过了要不然罚时就更起飞了。 D2 考虑枚举

[l, r]

$[l,r]$ ，判断能否使得所有

⌊ \frac{a_{i}}{p_{i}} ⌋

$\lfloor\frac{a_i}{p_i}\rfloor$ 都在

[l, r]

$[l, r]$ 范围内。对于每个

a_{i}, ⌊ \frac{a_{i}}{p_{i}} ⌋

$a_i,\lfloor\frac{a_i}{p_i}\rfloor$ 只

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人面前人脉圈人没齐人煤气

摘要：~~放了十天的假，题做不动，直接摆烂又觉得过不去，就开始研究这玩意儿玩~~ rmq是这样一类问题：给定长度为

n

$n$ 的初始序列，有若干次询问，每次询问序列在区间

[l, r]

$[l,r]$ 内的最小（大）值。在下文中，复杂度统一用

Θ (a) - Θ (b)

$\Theta(a)-\Theta(b)$ 表示。其中 $\Theta(a)

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Codeforces Round #812 (Div. 2)

摘要：A 这竟然是我场上唯一一道没1A的题，蚌。注意初值问题。 #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> inline int min(const int x, const int y) {return x < y ? x : y

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