一类最优化问题的通用解法

有这样一类问题：给你若干个元素 $(a,b,c)$，选出一些，要求它们的 $a$ 满足一些条件，使得 $\sum b\times \sum c$ 最小（大）。

通用解法：把每种选择方案看成坐标系上的一个点 $(\sum b,\sum c)$。则就是拿一个反比例函数去切，最小的能切到点的反比例函数就是答案。

不难发现最优解一定在下凸包上。考虑如何快速求出这个凸包：先找出 $\sum b,\sum c$ 最小的点，它们肯定在凸包上。

考虑一个分治过程。当前要找端点 $A,B$ 之间在凸包上的点：

蓝色为 $\overrightarrow{AB}$ 的法向量。如果 $C$ 在凸包上，那么它在法向量上的投影一定小于 $A,B$。所以只需要找到投影最小的点，如果它等于 $A$ 或 $B$ 就说明 $A,B$ 之间没有在凸包上的点。

求出 $C$ 过后向两边递归分治下去即可。

凸包的期望点数是 $\log$ 级别的，所以这种算法通常很快。