数组的连续最大子段合
问题描述:输入是一个大小为n的整型数组,要求输出数组的任何连续子数组中的最大值。例如:输入的数组为array[10] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};输出最大连续子数组和为array[2...6]:187
算法1:对所有满足0<=i<=j<=n的(i,j)整数对进行迭代,对每个整数对,程序都要计算array[i...j]的总和,并检验该总和是否大于迄今为止的最大总和。
算法1的伪代码描述如下:
maxsofar = 0 for(i=0;i<n;++j) for(j=i;j<n;++j) tmepsum = 0 for(k=i;k<=j;++k) tempsum += array[k] maxsofar = max(maxsofar,tempmax)
这段代码简洁明了,便于理解,但是程序执行的速度很慢,时间复杂度为O(n^3)。
算法2:对于算法1有一个明显的方法可以使其运行起来快得多。使得时间复杂度控制住平方O(n^2)。
第一个平方算法注意到,array[i...j]的总和与前面计算出的总和(array[i...j-1])密切相关,利用这一点可以达到算法2。
算法2_1的伪代码描述如下:
maxsofar = 0 for(i=0;i<n;++i) tempsum = 0; for(j=i;j<n;++j) tempsum += array[j] maxsofar = max(maxsofar,tempsum)
第二个平方算法是引入一个数组curarray,大小也为n,通过空间来换取时间,通过访问外循环执行之前计算[0...i]各个连续字段总和。curarrary中的第i个元素包含array[0...i]中各个数的累加和,所以x[i...j]中各个数的总和可以通过计算curarray[j] -curarray[i-1]得到.
算法2_2的伪代码描述如下:
curarray[-1] = 0 for(i=0;i<n;++i) curarray[i] = curarray[i-1]+x[i] maxsofar = 0 for(i=0;i<n;++i) for(j=i;j<n;++j) sum = curarray[j]-curarray[i-1] maxsofar = max(maxsofar,sum)
算法3:可以考虑采用法治算法。初始问题是要处理大小为n的数组,所以可以将其划分为两个子数组a和b,然后递归的找出a、b中元素总和最大的子数组分别为MaxA、MaxB。而最大子数组要么在a中,要么在b中,要么跨越a和b之间的边界,我们将跨越边界的最大子数组记为MaxC。我们通过分治算法计算处了MaxA和MaxB,通过某种办法计算处MaxC。然后返回三个中的最大值就是我们所要的最大子数组和。算法的时间复杂度为O(nlogn)。如何计算MaxC呢?通过观察发现,MaxC在a中的部分是a中包含右边界的最大子数组,而MaxC在b中的部分是b中包含左边界的最大子数组。将这些综合一起我们得到算法3:
int maxsum3(1,n) { if(n<1) //空数组 return 0 if(n==1) //只有一个元素的数组 return array[1] mid = n/2 //分为两部分 lmax = tempsum =0 //包含右边界的最大子数组和 for(i=mid;i>=1;--i) sum + array[i] lmax = max(lmax,sum) rmax = sum =0;//包含左边界的最大子数组和 for(i=mid;i<n;++i) sum += array[i] rmax = max(rmax,sum) return max(lmax+rmax,maxsum3(1,mid),maxsum3(mid+1,n)) }
算法4:我们现在采用操作数组的最简单的算法:从数组最左端(元素x[0])开始扫描,一直到最右端(元素array[n-1])为止,并记下所遇到的最大总和的子数组。最大总和开始设为0.假设我们已经解决了array[0...i-1]的问题,那么如何将其扩展为包含x[i]的问题呢?我们用类似于分治算法的原理:前i个元素中,最大总和子数组要么在前i-1个元素中(将其存maxsofar中),要么其结束位置为i(将其存入maxendinghere中)。不从头开始计算结束位置为i的最大子数组,而是利用结束位置为i-1的最大子数组进行计算。这样就得到了算法4:
maxsofar = 0 maxendinghere = 0 for(i=0;i<n;++i) maxendinghere = max(maxendinghere+array[i],0) maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere)
理解这个程序的关键在于maxendinghere。在循环中第一个赋值语句之前,maxendinghere是结束位置为i-1的最大子数组的和,赋值语句将其修改为结束位置为i的最大子数组的和。若加上array[i]的后的结果为正值,则该赋值语句使maxendinghere增大x[i],若加上x[i]之后结果为负值,该赋值语句将maxendinghere重新设置为0(因为结束位置为i的最大子数组现在为空)。这个地方有些难度,需要认真思考揣摩。时间复杂度为O(n),线性算法,效率最高。
下面针对这4个算法写一个完成的程序来进行测试,程序如下:
#include <iostream> using namespace std; //求两个数种最大值 int max(const int m,const int n) { return m>n ? m : n; } //求三个整数中的最大值 int max(const int x,const int y,const int z) { int temp = x>y ? x : y; temp = temp > z ? temp : z; return temp; } //算法1函数实现 int maxsum1(int *array,const size_t len) { int maxsofar = 0; int tempsum = 0; for(size_t i=0;i<len;++i) for(size_t j=i;j<len;++j) { tempsum = 0; for(size_t k =i;k<=j;++k) { tempsum += array[k]; maxsofar = max(maxsofar,tempsum); } } return maxsofar; } //算法2.1的实现 int maxsum2_1(int *array,const size_t len) { int maxsofar = 0; int tempsum = 0; for(size_t i=0;i<len;++i) { tempsum = 0; for(size_t j=i;j<len;++j) { tempsum += array[j]; maxsofar = max(maxsofar,tempsum); } } return maxsofar; } //算法2.2的实现 int maxsum2_2(int *array,const size_t len) { int *curarray =NULL; int maxsofar = 0; if(len>0) curarray = new int[len]; curarray[-1] = 0; for(size_t i=0;i<len;++i) curarray[i] = curarray[i-1] + array[i]; for(size_t j=0;j<len;++j) for(size_t k=j;k<len;++k) //tempsum = curarray[k] - curarray[j-1]; maxsofar = max(maxsofar,curarray[k]-curarray[j-1]); return maxsofar; } //算法3的实现 int maxsum3(int *array,const int begin,const int end) { int mid = 0; int lmax=0,rmax =0; int tempsum = 0; if(begin==end) return array[begin]; mid = (begin+end) / 2; for(int i=mid;i>=begin;--i) { tempsum += array[i]; lmax = max(lmax,tempsum); } tempsum = 0; for(int j=mid+1;j<=end;++j) { tempsum += array[j]; rmax = max(rmax,tempsum); } return max(lmax+rmax,maxsum3(array,begin,mid),maxsum3(array,mid+1,end)); } //算法4的实现 int maxsum4(int *array,const size_t len) { int maxendinghere = 0; int maxsofar = 0; for(size_t i=0;i<len;++i) { maxendinghere = max(maxendinghere+array[i],0); maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere); } return maxsofar; } int main() { int array[10] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84}; int choise; cout<<"1.算法1"<<endl; cout<<"2.算法2_1"<<endl; cout<<"1.算法1"<<endl; cout<<"3.算法3"<<endl; cout<<"4.算法4"<<endl; cout<<"5.算法2_2" <<endl; cout<<"0.退出"<<endl; while(1) { cout<<"选择算法:"; cin>>choise; cout<<"数组的最大字段和为:"; switch(choise) { case 1: cout<<maxsum1(array,10)<<endl; break; case 2: cout<<maxsum2_1(array,10)<<endl; break; case 3: cout<<maxsum3(array,0,9)<<endl; break; case 4: cout<<maxsum4(array,10)<<endl; break; case 5: cout<<maxsum2_2(array,10)<<endl; break; case 0: exit(0); } } return 0; }
参考文献:《编程珠玑》第二版 第八章 算法设计的艺术