数组的连续最大子段合
问题描述：输入是一个大小为n的整型数组，要求输出数组的任何连续子数组中的最大值。例如：输入的数组为array[10] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};输出最大连续子数组和为array[2...6]：187
算法1:对所有满足0<=i<=j<=n的(i,j)整数对进行迭代，对每个整数对，程序都要计算array[i...j]的总和，并检验该总和是否大于迄今为止的最大总和。
算法1的伪代码描述如下：
maxsofar = 0
for(i=0;i<n;++j)
for(j=i;j<n;++j)
tmepsum = 0
for(k=i;k<=j;++k)
tempsum += array[k]
maxsofar = max(maxsofar,tempmax)
这段代码简洁明了，便于理解，但是程序执行的速度很慢，时间复杂度为O(n^3)。
算法2:对于算法1有一个明显的方法可以使其运行起来快得多。使得时间复杂度控制住平方O(n^2)。
第一个平方算法注意到，array[i...j]的总和与前面计算出的总和（array[i...j-1]）密切相关，利用这一点可以达到算法2。
算法2_1的伪代码描述如下：
maxsofar = 0
for(i=0;i<n;++i)
tempsum = 0;
for(j=i;j<n;++j)
tempsum += array[j]
maxsofar = max(maxsofar,tempsum)
第二个平方算法是引入一个数组curarray，大小也为n，通过空间来换取时间，通过访问外循环执行之前计算[0...i]各个连续字段总和。curarrary中的第i个元素包含array[0...i]中各个数的累加和，所以x[i...j]中各个数的总和可以通过计算curarray[j] -curarray[i-1]得到.
算法2_2的伪代码描述如下：
curarray[-1] = 0
for(i=0;i<n;++i)
curarray[i] = curarray[i-1]+x[i]
maxsofar = 0
for(i=0;i<n;++i)
for(j=i;j<n;++j)
sum = curarray[j]-curarray[i-1]
maxsofar = max(maxsofar,sum)
算法3：可以考虑采用法治算法。初始问题是要处理大小为n的数组，所以可以将其划分为两个子数组a和b，然后递归的找出a、b中元素总和最大的子数组分别为MaxA、MaxB。而最大子数组要么在a中，要么在b中，要么跨越a和b之间的边界，我们将跨越边界的最大子数组记为MaxC。我们通过分治算法计算处了MaxA和MaxB，通过某种办法计算处MaxC。然后返回三个中的最大值就是我们所要的最大子数组和。算法的时间复杂度为O(nlogn)。如何计算MaxC呢？通过观察发现，MaxC在a中的部分是a中包含右边界的最大子数组，而MaxC在b中的部分是b中包含左边界的最大子数组。将这些综合一起我们得到算法3：
int maxsum3(1,n)
{
if(n<1) //空数组
return 0
if(n==1)
//只有一个元素的数组
return array[1]
mid = n/2 //分为两部分
lmax = tempsum =0
//包含右边界的最大子数组和
for(i=mid;i>=1;--i)
sum + array[i]
lmax = max(lmax,sum)
rmax = sum =0;//包含左边界的最大子数组和
for(i=mid;i<n;++i)
sum += array[i]
rmax = max(rmax,sum)
return max(lmax+rmax,maxsum3(1,mid),maxsum3(mid+1,n))
}
算法4：我们现在采用操作数组的最简单的算法：从数组最左端(元素x[0])开始扫描，一直到最右端(元素array[n-1])为止，并记下所遇到的最大总和的子数组。最大总和开始设为0.假设我们已经解决了array[0...i-1]的问题，那么如何将其扩展为包含x[i]的问题呢？我们用类似于分治算法的原理：前i个元素中，最大总和子数组要么在前i-1个元素中（将其存maxsofar中），要么其结束位置为i（将其存入maxendinghere中）。不从头开始计算结束位置为i的最大子数组，而是利用结束位置为i-1的最大子数组进行计算。这样就得到了算法4：
maxsofar = 0 maxendinghere = 0 for(i=0;i<n;++i) maxendinghere = max(maxendinghere+array[i],0) maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere)
理解这个程序的关键在于maxendinghere。在循环中第一个赋值语句之前，maxendinghere是结束位置为i-1的最大子数组的和，赋值语句将其修改为结束位置为i的最大子数组的和。若加上array[i]的后的结果为正值，则该赋值语句使maxendinghere增大x[i]，若加上x[i]之后结果为负值，该赋值语句将maxendinghere重新设置为0（因为结束位置为i的最大子数组现在为空）。这个地方有些难度，需要认真思考揣摩。时间复杂度为O(n),线性算法，效率最高。
下面针对这4个算法写一个完成的程序来进行测试，程序如下：
#include <iostream>
using namespace std; //求两个数种最大值
int max(const int m,const int n)
{
return m>n ? m : n;
} //求三个整数中的最大值
int max(const int x,const int y,const int z)
{
int temp = x>y ? x : y;
temp = temp > z ? temp : z;
return temp;
} //算法1函数实现
int maxsum1(int *array,const size_t len)
{
int maxsofar = 0;
int tempsum = 0;
for(size_t i=0;i<len;++i)
for(size_t j=i;j<len;++j)
{
tempsum = 0;
for(size_t k =i;k<=j;++k)
{
tempsum += array[k];
maxsofar = max(maxsofar,tempsum);
}
}
return maxsofar;
} //算法2.1的实现
int maxsum2_1(int *array,const size_t len)
{
int maxsofar = 0;
int tempsum = 0;
for(size_t i=0;i<len;++i)
{
tempsum = 0;
for(size_t j=i;j<len;++j)
{
tempsum += array[j];
maxsofar = max(maxsofar,tempsum);
}
}
return maxsofar;
} //算法2.2的实现
int maxsum2_2(int *array,const size_t len)
{
int *curarray =NULL;
int maxsofar = 0;
if(len>0)
curarray = new int[len];
curarray[-1] = 0;
for(size_t i=0;i<len;++i)
curarray[i] = curarray[i-1] + array[i];
for(size_t j=0;j<len;++j)
for(size_t k=j;k<len;++k)
//tempsum = curarray[k] - curarray[j-1];
maxsofar = max(maxsofar,curarray[k]-curarray[j-1]);
return maxsofar;
} //算法3的实现
int maxsum3(int *array,const int begin,const int end)
{
int mid = 0;
int lmax=0,rmax =0;
int tempsum = 0;
if(begin==end)
return array[begin];
mid = (begin+end) / 2;
for(int i=mid;i>=begin;--i)
{
tempsum += array[i];
lmax = max(lmax,tempsum);
}
tempsum = 0;
for(int j=mid+1;j<=end;++j)
{
tempsum += array[j];
rmax = max(rmax,tempsum);
}
return max(lmax+rmax,maxsum3(array,begin,mid),maxsum3(array,mid+1,end));
} //算法4的实现
int maxsum4(int *array,const size_t len)
{
int maxendinghere = 0;
int maxsofar = 0;
for(size_t i=0;i<len;++i)
{
maxendinghere = max(maxendinghere+array[i],0);
maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere);
}
return maxsofar;
} int main()
{
int array[10] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};
int choise;
cout<<"1.算法1"<<endl;
cout<<"2.算法2_1"<<endl;
cout<<"1.算法1"<<endl;
cout<<"3.算法3"<<endl;
cout<<"4.算法4"<<endl;
cout<<"5.算法2_2" <<endl;
cout<<"0.退出"<<endl;
while(1)
{
cout<<"选择算法：";
cin>>choise;
cout<<"数组的最大字段和为：";
switch(choise)
{
case 1:
cout<<maxsum1(array,10)<<endl;
break;
case 2:
cout<<maxsum2_1(array,10)<<endl;
break;
case 3:
cout<<maxsum3(array,0,9)<<endl;
break;
case 4:
cout<<maxsum4(array,10)<<endl;
break;
case 5:
cout<<maxsum2_2(array,10)<<endl;
break;
case 0:
exit(0);
}
}
return 0;
}
参考文献：《编程珠玑》第二版 第八章 算法设计的艺术
