[除草]关于2-sat——POJ上的几道题
最近看到一个很有意思的问题——2-sat问题，其基本定义就是说有n个布尔变量，给定m组变量之间的关系，每组最多只包含两个变量，求一种方案使得各个关系均满足。
解法：如果去掉“每组最多只包含两个变量”的条件，那么它就成了NPC问题，但是2-sat却有着非常巧妙的多项式解——将n个布尔变量表示成2n个点，分别表示该变量为真或为假。将必须同时选的两个点之间连上一条边；这样在这个图的一个强连通分量内的点就是必须都选的，如果一个强连通分量包含了x与!x，那么这个2-sat显然是无解的，否则一定可以根据拓扑序来选定一些点使该2-sat成立。
推荐两篇论文：华东师大一附中赵爽的《2-sat解法浅析》和《由对称性解决2-sat问题》，有关算法复杂度分析，具体实现，正确性证明可以参考论文。在此向论文作者致敬！！
下面是一些2-sat的题目（刷了很久才搞完，弱炸了T T）：
poj3207 Ikki's Story IV - Panda's Trick:
在圆上给n个点，之间连了一些边，每条边要么在里面，要么在外面，要求判断这些边是否一定有交点。
“每条边要么在里面，要么在外面”，可以根据这个建立2-sat模型。枚举任意两条边，如果有交点那么就说明不能同时为里面或者外面，根据这个建图，再跑一遍模板就可以了。
真·模板题。给定一些两个变量的关系（and,or,not等），要求它们成立。直接根据关系建图，再跑一遍模板就可以了。
poj3683 Priest John's Busiest Day
给定一些区间，要求在它们的头或尾各选一个固定长度的子区间，并且各个子区间不能相交，求是否可行并给出一组可行的方案。根据“每个区间都必须在头或在尾选一个固定的区间”建立2-sat模型，跑模板即可。
ps 其实这道题的核心不在2-sat，而是判断两个区间是否相交…………我写得无比复杂，后来终于发现可以根据区间端点的差值就可以做了……
ps ps 2:00-2:30 2:30-3:00这两个区间没有交集，被坑了一次。
相当无语的题……有n对夫妻参加一次婚礼，它们和新郎新娘分别坐在桌子两边，要求夫妻（包括新郎新娘）不能坐在一端，且它们之间有些有通奸关系（同性和异性的都可能），有通奸关系的两人不能同时坐在新娘的对面。
求是否可行和可行解。
夫妻不能同时选在一边，有通奸关系的两人至少有一人在新娘这边。根据这个关系建图就可以做了。
ps 被坑爆了，一开始以为n对都是新婚的…………后来看对题了又没想到新郎新娘也会有通奸关系………………相当无语………………什么婚礼啊………………………………
给出n对钥匙和m扇门，每扇门有两把锁，每种类型的锁必须要对应的钥匙才能打开（一一对应，且每种钥匙只有一把）；每扇门只需要开启一把锁就可以打开；每对钥匙只要用掉其中一把就不能用另一把；门必须按顺序打开；
求最多能开多少扇门。
二分答案，就变成了检验这些钥匙能否按顺序打开k扇门。每扇门如果不用开第一把锁（即不使用能开第一把锁的钥匙），就必须开第二把锁（即使用能开第二把锁的钥匙）；每对钥匙如果用掉一把，就不能用另一把。
根据钥匙建图就可以检验了。
ps 被坑了一次，检验答案k的时候只需要为前k扇门建边，但是要为所有的钥匙对建边。
有n个牛棚，两个交换站。每个牛棚必须建一条到某一个交换站的边，两个交换站之间也有一条边。某些牛棚不能被连在同一个交换站上，某些必须连在同一个交换站上。距离定义为曼哈顿距离。
求牛棚之间距离最大值的最小值。
二分最大值u，根据每两个牛棚之间的距离和给出的关系进行一些制约（如两个牛棚到交换站1的距离大于u，那么它们就不能被同时连在左边等），细节较繁琐，反正我写了180+行，有高手100行之内
搞定的…………没办法，本人太弱了TT。
ps 这题最开始数组开小了（应该是2*n^2），但是交上去却是WA而不是RE…………害得我搞了好久…………
最后，附上本人弱爆的模板，望各路神牛批评指出缺陷：
View Code
1 #include<cstdio>
2 #include<cstdlib>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 using namespace std;
6
7 #define _y(x) (x<<1)
8 #define _n(x) (x<<1|1)
9
10 const int maxn=2010;
11 const int maxm=4000010;
12
13 struct node
14 {
15 int end;
16 node *next;
17 }edge[maxm],*head[maxn],*p;
18
19 int dfn[maxn],low[maxn],stk[maxn],color[maxn],n,colo,idx,all,top;
20 bool inS[maxn];
21
22 inline void add_edge(int x,int y)
23 {
24 p=&edge[++all],p->end=y,p->next=head[x],head[x]=p;
25 }
26
27 void tarjan(int u)
28 {
29 dfn[u]=low[u]=++idx;
30 inS[stk[++top]=u]=true;
31 for (node *p=head[u];p;p=p->next)
32 if (!dfn[p->end])
33 {
34 tarjan(p->end);
35 low[u]=min(low[u],low[p->end]);
36 }
37 else if (inS[p->end])
38 {
39 low[u]=min(low[u],dfn[p->end]);
40 }
41 if (low[u]==dfn[u])
42 {
43 int v;++colo;
44 do
45 {
46 inS[v=stk[top--]]=false;
47 color[v]=colo;
48 } while (u!=v);
49 }
50 }
51
52 int main()
53 {
54 int x,y,z,m;
55 char op[5];
56 scanf("%d%d",&n,&m);
57 while (m--)
58 {
59 scanf("%d%d%d%s",&x,&y,&z,op),++x,++y;
60 if (op[0]=='A')
61 {
62 if (z)
63 {
64 add_edge(_y(x),_y(y));
65 add_edge(_y(y),_y(x));
66 add_edge(_n(x),_y(x));
67 add_edge(_n(y),_y(y));
68 }
69 else
70 {
71 add_edge(_y(x),_n(y));
72 add_edge(_y(y),_n(x));
73 }
74 }
75 else if (op[0]=='O')
76 {
77 if (z)
78 {
79 add_edge(_n(x),_y(y));
80 add_edge(_n(y),_y(x));
81 }
82 else
83 {
84 add_edge(_n(x),_n(y));
85 add_edge(_n(y),_n(x));
86 add_edge(_y(x),_n(x));
87 add_edge(_y(y),_n(y));
88 }
89 }
90 else if (op[0]=='X')
91 {
92 if (z)
93 {
94 add_edge(_y(x),_n(y));
95 add_edge(_y(y),_n(x));
96 add_edge(_n(y),_y(x));
97 add_edge(_n(x),_y(y));
98 }
99 else
100 {
101 add_edge(_y(x),_y(y));
102 add_edge(_y(y),_y(x));
103 add_edge(_n(x),_n(y));
104 add_edge(_n(y),_n(x));
105 }
106 }
107 }
108 x=n<<1|1;
109 for (int i=2;i<=x;++i)
110 if (!dfn[i])
111 tarjan(i);
112 for (int i=1;i<=n;++i)
113 if (color[_y(i)]==color[_n(i)])
114 {
115 puts("NO");
116 return 0;
117 }
118 puts("YES");
119 return 0;
120 }
