（算法专题）使用常微分方程将递归转换为非递归

算法复杂性经常描述为递归方程，解递归方程得到算法复杂性的具体表示

• 用特征方程解递归方程
• 用生成函数解递归方程
• 用递推方法解递归方程

用递推方法解递归方程，也就是我们常用的数学归纳法，用生成函数解递归方程，也就是我们使用循环代替递归。

这节，我们利用高等数学的常微分方程，来进行求解递归式。

 

K阶常系数线性齐次递归方程

K阶常系数线性齐次递归方程形如：

 

 

其中，bi为常数，第2项为方程初始条件。 在上式中，用xn取代f(n), 有：

两边分别处以xn-k，得：

特征方程如下：

 

 练习：

解下列递归方程：

1. f(n)=3f(n-1), f(0)=5

2. f(n)=2f(n-1) f(0)=2

3. f(n)=5f(n-1) – 6f(n-2), f(0)=1, f(1)=1

4. f(n)= -6f(n-1) – 9f(n-2), f(0)=3, f(1)=-3

5.求解斐波那契数列

 

 

 

 

 

K阶常系数线性非齐次递归方程

K阶常系数线性非齐次递归方程形如：

 

 

其中，bi为常数，第2项为方程初始条件。 它的通解形式为：

 

 

其中，

1） 为对应齐次递归方程的通解

2） f*(n) 为原非齐次递归方程的特解

解题原理：

1. 一般没有寻找特解的有效方法

2. 先根据g(n)具体形式，确定特解；再将特解代入递归方程，用待定系数法，求解特解的系数 3. g(n)分为以下几种情况 g(n)是n的m次的多项式 g(n)是n的指数函数