Cryptography I 学习笔记 --- 基于Diffie-Hellman的公钥加密

1. Diffie-Hellman协议:

  假定g是集合G的生成元,G有n个元素。

  Alice随机选取1-n中的一个数a,并公布ga为公钥

  Bob随机选取1-n中的一个数b,并公布gb为公钥

  那么gab就是Alice与Bob之间的私钥

  从公钥中提取私钥,是一个离散对数问题,难以解决。

  裸的Diffie-Hellman协议有中间人攻击的风险

2. Elgamal系统

  n阶有限循环群G,哈希函数H,对称加密算法Es与Ds

  Alice随机选取G的一个生成元g,从1到n-1间随机选取一个数a

  Alice将a作为私钥,将(g,ga)作为公钥

  现在Bob想要将消息m发送给Alice

  加密:Bob从1到n-1间随机选取一个数b,计算u=gb,计算v=gab

  计算k = H(u,v),再计算c = Es(k,m)

  然后将(u,c)作为密文发送出去

  解密:Alice接收到密文(u,c)

  由于u=gb,Alice可以计算ua=gab=v

  同样的,可以到k = H(u,v),然后就可以得到明文m = Ds(k,c)

3. Elgamal系统是选择密文安全的

4. twin Elgamal

  Alice随机选取G的一个生成元g,从1到n-1间随机选取两个数a1与a2

  Alice将(a1,a2)作为私钥,将(g,ga1,ga2)作为公钥

  加密:Bob从1到n-1间随机选取一个数b

  计算k = H(gb,ga1*b,ga2*b),再计算c = Es(k,m),输出(gb,c)

  解密:Alice计算k = H(gb,ga1*b,ga2*b),得到明文m = Ds(k,c)

5. 单向函数

  有函数f将集合X映射到集合Y,如果计算f是容易的,计算f-1是困难的,那么f就是单向函数

6. 离散对数单向函数

  n阶有限循环群G,其生成元为g,定义函数f(x) = gx ∈ G。那么f是单向的。

  离散对数单向函数有一些有趣的性质:f(x+y) = f(x) * f(y)也就是我们只需要知道f(x)与f(y)的值,不需要知道x与y的具体值,就能计算出f(x+y)

7. RSA单向函数

  随机选择两个质数p,q,计算n = p * q,构造整数e与d,并且e*d = 1 mod φ(n)

  定义函数f(x) = xe mod n,那么f是单向的

  RSA单向函数的特殊性质在于 f(x*y) = f(x) * f(y),

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