读书笔记: 博弈论导论 - 11 - 完整信息的动态博弈 战略协议

读书笔记: 博弈论导论 - 11 - 完整信息的动态博弈 战略协议

战略协议(Strategic Bargaining)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

协议是多方对一个剩余(surplus)，通过提议，尝试达成一致意见。

一个两人协议博弈的过程：

• 第一回合
  • 玩家1提出分配$(x, 1-x)$，玩家1得到x，玩家2得到1-x。
  • 如果玩家2表示接受，博弈结束，$v_1 = x, v_2 = 1-x$。如果玩家2反对，进入下一轮
• 第二回合
  • 剩余变成了$1 - \delta$。折扣率$0 < \delta < 1$
  • 玩家2提出分配$(x, 1-x)$，玩家1得到x，玩家2得到1-x。
  • 如果玩家1表示接受，博弈结束，$v_1 = \delta x, v_2 = \delta (1-x)$。如果玩家1反对，进入下一轮。
• 第三回合及以后
  • 博弈如上继续，在奇数回合，玩家2的反对则导致其在下一轮变成提议者，反之亦然。
  • 每个回合的继续，到导致剩余的一次折扣，在第t个回合，剩余未$\delta^{t-1}$。

协议博弈和之前博弈的不同之处：

• 如果提议被接受，博弈会在任何回合结束。
• 收益只有在整个博弈结束时才产生，而不是每个回合就会产生。

只有一轮的协议：最后的话博弈(The ultimatum game)

take it or leave it.
推论：11.1

在一个T=1的协议博弈中，剩余的任何分配都能被支持为一个纳什博弈：$x^* \in [0, 1], (v_1, v_2) = (x^*, 1 - x^*)$.
推论：11.2
在一个T=1的协议博弈中，允许一个唯一的子博弈精炼均衡，在这个均衡中，玩家1提供$x=1$，并且玩家2接受任何$x \leq 1$。

有限回合的协议博弈

推论：11.3

任何子博弈精炼均衡必定导致玩家们可以在第一回合达成一致。
两人奇数回合的协议博弈的结果

$$v_1^* = x_1 = \frac{1 + \delta^T}{1 + \delta} \ and \ v_2^* = (1 - x_1) = \frac{\delta - \delta^T}{1 + \delta} \\ \lim_{T \to \infty} v_1^* = \lim_{T \to \infty} \frac{1 + \delta^T}{1 + \delta} = \frac{1}{ 1 + \delta} \\ \lim_{T \to \infty} v_2^* = \lim_{T \to \infty} \frac{\delta - \delta^T}{1 + \delta} = \frac{\delta}{1 + \delta} \\ \lim_{\delta \to 1} \lim_{T \to \infty} v_1^* = \lim_{\delta \to 1} \frac{1}{1 + \delta} = \frac{1}{2} \\ \lim_{\delta \to 1} \lim_{T \to \infty} v_2^* = \lim_{\delta \to 1} \frac{\delta}{1 + \delta} = \frac{1}{2} \\ $$

说明了

• 玩家1拥有last-mover take-it-or-leave-it 优势和 first-mover折扣优势，意味着: $v_1^* > v_2^*$。
• 如果玩家都是有耐性的（也就是说不接受达到自己最低要求的提议），则last-mover take-it-or-leave-it优势消失了。
• 长期的回合消除了last-mover take-it-or-leave-it优势。
• $\delta = 1$消除了first-mover优势。

无限回合的协议博弈

两人无限回合的协议博弈的结果

$$\overline{v}_1 = \overline{v}_2 = \overline{v} \\ \underline{v}_1 = \underline{v}_2 = \underline{v} \\ \underline{v} = 1 - \delta \overline{v} \\ \overline{v} = 1 - \delta \underline{v} \\ \underline{v} = \overline{v} = \frac{1}{1 + \delta} \\ where \\ \overline{v} \text{ : the best subgame-perfect equilibrium} \\ \underline{v} \text{ : the worst subgame-perfect equilibrium} \\ $$

协议立法

封闭规则协议(Closed-Rule Bargaining)

博弈规则：

有N奇数个玩家，需要$\frac{N+1}{2}$个接受才能是提议通过。
在每个周期里，每个玩家都有相同的可能性称为提议者。
博弈结果：

$$where \\ k \text{ : the proposer's best response} \\ v \text{ : the expected payoff for any player i}$$

提议者的最佳收益：需要得到n-1的人的同意，由于折扣优势，这个n-1个人的收益为$\delta v$：

$$k = 1 - \frac{N - 1}{2} \delta v \\ $$

回应者的收益：有$\frac{1}{N}$可能性成为提议者，拿到k；
有$\frac{N - 1}{N}$的可能性成为回应者，并且只有$\frac{1}{2}$的可能性（因为提议者只提供收益给回应者中的一半人）拿到$\delta v$。

$$v = \frac{k}{N} + \frac{N - 1}{2N} \delta v \\ $$

计算结果:

$$v = \frac{1}{N} \\ k(N) = 1 - \delta ( \frac{N - 1}{2N}) \\ $$

说明了

• 当回扣率增加，提议者的收益变少。
• 玩家越多，提议者收益越大，回应者收益越少。

开放规则协议(Opened-Rule Bargaining)

博弈规则：

有N奇数个玩家。
提议者提出一个协议，
有一个修订者提出一个修改协议。
如果提议者的协议通过了$\frac{N+1}{2}$。则被接受。
否则，修改协议变成主协议。
一个新的修订者提出一个修改协议。
再次投票，重复上面的过程。

保证方案(guaranteed success)

无论那个响应者成为修订者，都可通过的方案。
案例：3个玩家。

$$where \\ k \text{ : the proposer's best response} \\ v(k) \text{ : the expected payoff for any player i}$$

回应者的收益：一方面为$\frac{1 - k}{2}$，一方面为$\delta v(k)$：

$$\frac{1 - k}{2} = \delta v(k) \\ $$

修订者的收益：由于对称性，修订者的给自己的收益$v(k)$应该是k。

$$v(k) = k \\ $$

计算结果:

$$k = \frac{1}{1 + 2 \delta} \\ $$

说明了

• 玩家越有耐心，提议者的付出越多。
• 封闭规则对提议者有利。

冒险方案(risky success)

冒一个部分响应者不会成为修订者的风险。

$$where \\ k \text{ : the proposer's value to himself} \\ v(k) \text{ : the expected payoff for proposer} \\ v(0) \text{ : the expected payoff for the player who will be offered 0}$$

回应者的收益：一方面为$1 - k$，一方面为$\delta v(k)$：

$$1 - k = \delta v(k)$$

提议者的期望收益：有$\frac{1}{2}$可能性拿到k；如果冒险失败，有$\frac{1}{2}$可能性拿到v(0)。

$$v(k) = \frac{1}{2} k + \frac{1}{2} \delta v(0) \\ $$

得到0的玩家的期望收益：有一半的可能性得到v(k)。

$$v(0) = \frac{1}{2} \delta v(k) \\ $$

计算结果:

$$k = \frac{4 - \delta^2}{4 + 2 \delta - \delta^2} \\ v(k) = \frac{2}{4 + 2 \delta - \delta^2} \\ $$

说明了

• 当$\delta > \sqrt{3} - 1$时，冒险方案更好。

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
• 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 完整信息的静态博弈 纳什均衡
• 读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略
• 读书笔记: 博弈论导论 - 07 - 完整信息的动态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 08 - 完整信息的动态博弈 可信性和序贯理性
• 读书笔记: 博弈论导论 - 09 - 完整信息的动态博弈 多阶段博弈
• 读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完整信息的动态博弈 重复的博弈
• Nash bargaining solution