读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完整信息的动态博弈 重复的博弈

读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完整信息的动态博弈 重复的博弈

重复的博弈(Repeated Games)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

有限地重复的博弈

• 有限地重复的博弈(Finitely Repeated Games)
  给定一个阶段博弈$G$，一个有限地重复的博弈被记做$G(T, \delta)$，其中阶段博弈$G$被连续进行了T次，$\delta$是公共折扣因子。

推论 10.1

如果有限重复博弈的阶段博弈有一个唯一的纳什博弈，
则这个有限重复博弈有一个唯一的子博弈精炼均衡。

• 现值(present value)
  在一个无限队列的收益${ v_i }_{i=1}^{\infty}$中，玩家i的现值是

$$v_i = \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \\ where \\ 0 < \delta < 1$$

• 平均收益(average payoff)
  在一个无限队列的收益${ v_i }_{i=1}^{\infty}$中，玩家i的现值是

$$\bar{v_i} = (1 - \delta) \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \\ where \\ \delta < 1$$

• 策略
  在一个无限重复博弈中，$H_t$代表长度为t的所有可能历史的集合。
  $h_t \in H_t$是一种历史。
  $H = \cup_{t=1}^{\infty} H_t$为所有可能历史的集合。
  玩家i的一个纯策略是一个映射$s_i: H \to S_i$，映射历史到这个阶段博弈的行动。
  玩家i的一个行为策略一个映射$\sigma_i: H \to \Delta S_i$，映射历史到这个阶段博弈的行动的随机选择。

• 子博弈精炼均衡(Sub-game-perfect equilibria)
  一个纯博弈组合$(s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot)), s_i: H \to S_i, \forall i \in N$是一个子博弈精炼均衡，
  如果在每一个子博弈中，$(s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot))$的约束都是一个纳什均衡。

推论 10.2

一个无限重复博弈$G(\delta), \delta < 1$，其阶段博弈G的一个（静态）纳什均衡$(\sigma_1^*, \sigma_2^*, \cdots, \sigma_n^*)$。
定义这个重复博弈的每个玩家i的策略为不依赖历史的纳什策略，$\sigma_i^*(h) = \sigma_i^*, \forall h \in H$，
则$(\sigma_1^*(h), \sigma_2^*(h), \cdots, \sigma_n^*(h))$为这个重复博弈的一个子博弈精炼均衡。

不依赖历史的无限重复博弈中阶段博弈，其纳什均衡就是重复博弈的子博弈精炼均衡。

推论 10.3

在一个无限重复博弈$G(\delta)$中，一个策略组合是一个子博弈精炼均衡，
当且仅当不存在玩家i在其单个历史$h_{t-1}$中，可以从$s_i(h_{t-1})$偏离中获得更多的收益。

• 凸组合(convex combination)
  给定两个矢量$v = (v_1, v_2, \cdots, v_n)$和$v’ = (v‘_1, v’_2, \cdots, v‘_n)$，
  $\hat{v} = (\hat{v}_1, \hat{v}_2, \cdots, \hat{v}_n)$是一个凸组合(convex combination)，
  如果$\hat{v} = \alpha v + (1 - \alpha) \hat{v}, \alpha \in [0, 1]$或者说$\hat{v}_i = \alpha v_i + (1 - \alpha) \hat{v}_i, \forall i \in [1, \cdots, n]$
  从几何上说凸组合位于两个点之间线段上的任意点。

• 凸包(convex hull)
  给定一组矢量$V = \{v^1, v^2, \cdots, v^k \}$，则V的凸包(convex hull)为：

$$CoHull(V) = \{ \\ v = \sum_{j=1}^k \alpha_j v^j \\ where \\ v \in \mathbb{R}^n, \\ \exists (\alpha_1, \cdots, \alpha_k) \in R_+^n, \\ \sum_{j=1}^k \alpha_j = 1\\ \}$$

几何上的理解为：
当n = 2（矢量的维度是2）时，
两个点的凸包就是两个点之间线段;
多个点的凸包就是多个点之间组成的平面;
当n > 2（矢量的维度 > 2）时，
两个点的凸包就是两个点之间线段;
多个点的凸包就是多个点之间组成的多维空间（维度为$m \leq n \ \land \ m \leq k - 1$）。

• 可行收益(feasible payoffs)
  一个博弈的所有收益的凸包为可行收益的集合。

大众定理(the folk theorem)

$G(\delta)$为一个有限，同时选择的完整信息博弈，
$v^* = (v_1^*, \cdots, v_n^*)$为博弈G的一个纳什均衡的收益，也是G的可行收益。
如果存在$v_i > v_i^*, \forall i \in N, \delta$为一个足够接近1的值，
则对于$G(\delta)$的无限重复博弈，存在一个子博弈精炼均衡，其平均收益接近于$v = (v_1, \cdots, v_n)$。

大众定理由于是多人贡献，也搞不清是那些人，而得名。

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
• 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 完整信息的静态博弈 纳什均衡
• 读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略
• 读书笔记: 博弈论导论 - 07 - 完整信息的动态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 08 - 完整信息的动态博弈 可信性和序贯理性
• 读书笔记: 博弈论导论 - 09 - 完整信息的动态博弈 多阶段博弈
• 读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完整信息的动态博弈 重复的博弈