读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略

读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略

混合的策略

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

策略，信念和期望收益

• 混合策略
  玩家i的有限纯策略集合$S_i = {s_{i1}, s_{i2}, \cdots, s_{im}}$。
  将$\Delta S_i$定义为$S_i$的单纯形，是在$S_i$上所有概率分布的集合。
  玩家i的一个混合策略(mixed strategy)是$\sigma_i \in \Delta S_i$，

$$\sigma_i = (\sigma_i(s_{i1}), \sigma_i(s_{i2}), \cdots, \sigma_i(s_{im})) \\ where \\ \sigma_i(s_{i}) \text{ : the probability that player i plays s_{i}}$$

两个明显的条件:

$$\sigma_i(s_{i}) \geq 0, \forall s_i \in S_i \\ \sum_{s_i \in S_i} \sigma_i(s_{i}) = 1$$

• $\Delta S_i$的例子：(rock-paper-scissor)
  $\Delta S_i$ = {(\sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S)) : \sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S) \geq 0, \sigma_i(R) + \sigma_i(P) + \sigma_i(S) = 1}$表示所有$(\sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S))$对，使得每个值都大于等于0，并且每个值的和为1。

• $\sigma(\dot)$支持策略$s_i$($s_i$ is in the support of $\sigma(\dot)$)
  给定一个玩家i的混合策略$\sigma(\dot)$，如果$\sigma(s_i) > 0$，则称$\sigma(\dot)$支持纯策略$s_i$。

• 连续策略集的混合策略
  玩家i的纯策略集合$S_i$是一个值区间，则玩家i的一个混合策略是累积分布函数$F_i : S_i \to [0, 1], \ where \ F_i(x) = Pr{s_i < x>}$。
  如果$F_i(\dot)$在密度$f_i(\dot)$上可微分，并且$f_i(\dot) > 0$，则称$F_i(\dot)$支持纯策略$s_i$。

• 信念(belief)
  信念$\pi_i \in \Delta S_{-i}$代表玩家i认为对手采用$s_{-i} \in S_{-i}$的概率。

• 期望收益(Expected Payoffs)
  玩家i选择策略$s_i \in S_i$，并且对手选择混合策略$\sigma_{-i} \ \Delta_{-i}$，的期望收益:

$$v_i(s_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{-i}(s_{-i}) v_i(s_i, s_{-i})$$

玩家i选择混合策略$\sigma_i \in \Delta S_i$，并且对手选择混合策略$\sigma_{-i} \ \Delta_{-i}$，的期望收益:

$$v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{i} \in S_{i}} \sigma_{i}(s_{i}) v_i(s_i, s_{-i}) = \sum_{s_i \in S_i} ( \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{i}(s_{i}) \sigma_{-i}(s_{i-}) v_i(s_i, s_{-i}) )$$

• 混合策略的纳什均衡
  混合策略组合$\sigma^* = (\sigma_1^*, \sigma_2^*, \cdots, \sigma_n^*)$是一个纳什策略，如果对于每个玩家$\sigma_i^*$都是最佳响应。

$$v_i(\sigma_i^*, \sigma_{-i}^*) \geq v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}^*), \ \forall \sigma_i \in \Delta S_i$$

推论 6.1

如果$\sigma^*$是一个纳什博弈，并且$\sigma^*支持$s_i$和$s'i$,则$v_i(s_i, \sigma^) = v_i(s'i, \sigma^) = v_i(\sigma^, \sigma_{-i}^)$

Rock-Paper-Scissor

断言 6.1:

如果一个玩家选择纯策略，另一个玩家选择混合策略，则不存在纳什均衡。

断言 6.2:

如果至少有一个玩家选择只有两个纯策略的混合策略，则不存在纳什均衡。

严格劣势策略的迭代消除和可合理化(IESDS and Rationalizability)

• 严格劣势
  $s'_i \in S_i$严格劣势于$\sigma_i \in \Delta S_i$，如果满足条件：

$$v_i(\sigma_i, s_{-i}) > v_i(s'_i, s_{-i}), \ \forall s_{-i} \in S_{-i} \\ $$

• 不可能是一个最佳响应
  对于玩家i的混合策略$\sigma_i \in \Delta S_i$，这个混合策略作为最佳响应的对手混合策略$\sigma_i \in BR_i(\sigma_{-1})$，如果对手的任何混合策略$\sigma_{-1} \in \Delta S_{-i}$都不在玩家i的信念中，则$\sigma_i \in \Delta S_i$不可能是一个最佳响应。

断言

一个劣势混合策略$sigma_i$不可能是一个最佳响应。

推论 6.2

任何两人博弈中，策略$sigma_i$是一个严格劣势纯策略，当且仅当策略$sigma_i$不可能是一个最佳响应。

纳什存在定理

纳什存在定理(Nash's existence Theorem)

任何普通形式、具有限策略集合的博弈存在一个纳什均衡的混合策略。
纳什存在定理的证明用到了不动点定理。

布劳威尔不动点定理(Brouwer's Fixed-Point Theorem)

如果f(x)是一个连续函数从域[0, 1]到[0, 1]$f:[0, 1] \to [0, 1]$,则存在至少一个点$f(x^*) = x^*, x^* \in [0, 1]$。
证明过程简介：连续函数f(x)一定和函数$f_1(x) = x$至少有一个交点。

• 最佳响应对应(collection of best response correspondence)
  最佳响应对应集合$BR \equiv BR_1 \times BR_2 \times \cdots \times BR_n$，映射$\Delta S \equiv \Delta S_1 \times \Delta S_2 \times \cdots \times \Delta S_n$ 到自身。
  也就是说：$BR : \Delta S \rightrightarrows \Delta S$, $BR(\sigma) \subset \Delta S, \ for \ \sigma \in \Delta S$

角谷不动点定理(Kakutani Fixed-Point Theorem)

一个对应$C: X \rightrightarrows X$有一个不动点，如果以下四个条件都满足：

1. X是非空的，紧凑的，$\mathbb{R}^n$的凸子集
2. C(x)对于所有的x都非空。
3. C(x)对于所有的x都是凸的。
4. C有一个闭合图。

• 凸的(convex)
  集合$X \subseteq \mathbb{R}^n$是凸的，如果集合X中任何两点的连线上的点都在集合X中。
• 闭合的(closed)
  集合$X \subseteq \mathbb{R}^n$是闭合的，如果集合X边缘点在集合X中。(0, 1]是非闭合的，[0, 1]是闭合的。
• 紧凑的(compact)
  集合$X \subseteq \mathbb{R}^n$是紧凑的，如果集合X是闭合并且有界。[0, 1]是紧凑的，$[0, \infty]$是非紧凑的。
• 闭合图(closed graph)
  图$C: X \rightrightarrows X$是闭合图, 如果C是闭合的。

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)

• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
• 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 完整信息的静态博弈 纳什均衡
• 读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略