强化学习读书笔记 - 05 - 蒙特卡洛方法(Monte Carlo Methods)

强化学习读书笔记 - 05 - 蒙特卡洛方法(Monte Carlo Methods)

学习笔记：
Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016

数学符号看不懂的，先看看这里：

• 强化学习读书笔记 - 00 - 术语和数学符号

蒙特卡洛方法简话

蒙特卡洛是一个赌城的名字。冯·诺依曼给这方法起了这个名字，增加其神秘性。
蒙特卡洛方法是一个计算方法，被广泛的用于许多领域，用于求值。
相对于确定性的算法，蒙特卡洛方法是基于抽样数据来计算结果。

蒙特卡洛方法的基本思路

蒙特卡洛方法的整体思路是：模拟 -> 抽样 -> 估值。

示例：
比如：如何求\(\pi\)的值。一个使用蒙特卡洛方法的经典例子如下：
我们知道一个直径为1的圆的面积为\(\pi\)。
把这个圆放到一个边长为2的正方形（面积为4）中，圆的面积和正方形的面积比是：\(\frac{\pi}{4}\)。
如果可以测量出这个比值\(c\)，那么\(\pi=c \times 4\)。
如何测量比值\(c\)呢？用飞镖去扎这个正方形。扎了许多次后，用圆内含的小孔数除以正方形含的小孔数可以近似的计算比值\(c\)。

说明：
模拟 - 用飞镖去扎这个正方形为一次模拟。
抽样 - 数圆内含的小孔数和正方形含的小孔数。
估值 - 比值\(c\) = 圆内含的小孔数 / 正方形含的小孔数

蒙特卡洛方法的使用条件

• 环境是可模拟的
  在实际的应用中，模拟容易实现。相对的，了解环境的完整知识反而比较困难。
  由于环境可模拟，我们就可以抽样。

• 只适合情节性任务(episodic tasks)
  因为，需要抽样完成的结果，只适合有限步骤的情节性任务。

蒙特卡洛方法在强化学习中的用例

只要满足蒙特卡洛方法的使用条件，就可以使用蒙特卡洛方法。
比如：游戏类都适合：完全信息博弈游戏，像围棋、国际象棋。非完全信息博弈游戏：21点、麻将等等。

蒙特卡洛方法在强化学习中的基本思路

蒙特卡洛方法的整体思路是：模拟 -> 抽样 -> 估值。

如何应用到强化学习中呢？
强化学习的目的是得到最优策略。
得到最优策略的一个方法是求\(v_{pi}(s), \ q_{pi}{s, a}\)。 - 这就是一个求值问题。

结合通用策略迭代(GPI)的思想。
下面是蒙特卡洛方法的一个迭代过程：

1. 策略评估迭代
   1. 探索 - 选择一个状态(s, a)。
   1. 模拟 - 使用当前策略\(\pi\)，进行一次模拟，从当前状态(s, a)到结束，随机产生一段情节(episode)。
   1. 抽样 - 获得这段情节上的每个状态(s, a)的回报\(G(s, a)\)，记录\(G(s, a)\)到集合\(Returns(s, a)\)。
   1. 估值 - q(s, a) = Returns(s, a)的平均值。
   （因为状态(s, a)可能会被多次选择，所以状态(s, a)有一组回报值。）
2. 策略优化 - 使用新的行动价值\(q(s, a)\)优化策略\(\pi(s)\)。

解释

• 上述的策略评估迭代步骤，一般会针对所有的状态-行动，或者一个起始(\(s_0, a_0\))下的所有状态-行动。
  这也说明持续探索（continual exploration）是蒙特卡洛方法的主题。
• 模拟过程 - 会模拟到结束。是前进式的，随机选择下一个行动，一直前进到结束为止。
  因此可以看出蒙特卡洛方法需要大量的迭代，才能正确的找到最优策略。
• 策略评估是计算行动价值(\(q(s, a)\))。
  (也可以是状态价值，则\(\pi(s)\)为状态\(s\)到其下一个最大价值状态\(s‘\)的任意行动。)
  计算方法：

\[q(s, a) = average(Returns(s, a)) \]

一些概念

• Exploring Starts 假设 - 指有一个探索起点的环境。
  比如：围棋的当前状态就是一个探索起点。自动驾驶的汽车也许是一个没有起点的例子。

• first-visit - 在一段情节中，一个状态只会出现一次，或者只需计算第一次的价值。

• every-visit - 在一段情节中，一个状态可能会被访问多次，需要计算每一次的价值。

• on-policy method - 评估和优化的策略和模拟的策略是同一个。

• off-policy method - 评估和优化的策略和模拟的策略是不同的两个。
  有时候，模拟数据来源于其它处，比如：已有的数据，或者人工模拟等等。

• target policy - 目标策略。off policy method中，需要优化的策略。

• behavior policy - 行为策略。off policy method中，模拟数据来源的策略。

根据上面的不同情境，在强化学习中，提供了不同的蒙特卡洛方法。

• 蒙特卡洛（起始点（Exploring Starts））方法
• On-policy first visit 蒙特卡洛方法（for \(\epsilon\)-soft policies）
• Off-policy every-visit 蒙特卡洛方法

蒙特卡洛（起始点（Exploring Starts））方法

Initialize, for all \(s \in \mathcal{S}, \ a \in \mathcal{A}(s)\):
 \(Q(s,a) \gets\) arbitrary
 \(\pi(s) \gets\) arbitrary
 \(Returns(s, a) \gets\) empty list

Repeat forever:
 Choose \(S_0 \in \mathcal{S}\) and \(A_0 \in \mathcal{A}(S_0)\) s.t. all pairs have probability > 0
 Generate an episode starting from \(S_0, A_0\), following \(\pi\)
 For each pair \(s,a\) appearing in the episode:
   $G \gets $ return following the first occurrence of s,a
   Append \(G\) to \(Returns(s, a)\)
   \(Q(s, a) \gets average(Returns(s, a))\)
 For each s in the episode:
   \(\pi(s) \gets \underset{a}{argmax} Q(s,a)\)

On-policy first visit 蒙特卡洛方法（for \(\epsilon\)-soft policies）

Initialize, for all \(s \in \mathcal{S}, \ a \in \mathcal{A}(s)\):
  \(Q(s,a) \gets\) arbitrary
  \(\pi(a|s) \gets\) an arbitrary \(\epsilon\)-soft policy
  \(Returns(s, a) \gets\) empty list

Repeat forever:
  (a) Generate an episode using \(\pi\)
  (b) For each pair \(s,a\) appearing in the episode:
   $G \gets $ return following the first occurrence of s,a
   Append \(G\) to \(Returns(s, a)\)
   \(Q(s, a) \gets average(Returns(s, a))\)
  (c) For each s in the episode:
   \(A^* \gets \underset{a}{argmax} \ Q(s,a)\)
   For all \(a \in \mathcal{A}(s)\):
    if \(a = A^*\)
     \(\pi(a|s) \gets 1 - \epsilon + \frac{\epsilon}{|\mathcal{A}(s)|}\)
    if \(a \ne A^*\)
     \(\pi(a|s) \gets \frac{\epsilon}{|\mathcal{A}(s)|}\)

Off-policy every-visit 蒙特卡洛方法

Initialize, for all \(s \in \mathcal{S}, \ a \in \mathcal{A}(s)\):
  \(Q(s,a) \gets\) arbitrary
  \(C(s,a) \gets\) 0
  \(\mu(a|s) \gets\) an arbitrary soft behavior policy
  \(\pi(a|s) \gets\) a deterministic policy that is greedy with respect to Q

Repeat forever:
  Generate an episode using \(\mu\):
   \(S_0,A_0,R_1,\cdots,S_{T-1},A_{T-1},R_T,S_T\)
  \(G \gets 0\)
  \(W \gets 1\)
  For t = T - 1 downto 0:
   \(G \gets \gamma G + R_{t+1}\)
   \(C(S_t, A_t) \gets C(S_t, A_t) + W\)
   \(Q(S_t, A_t) \gets Q(S_t, A_t) + \frac{W}{C(S_t, A_t)} |G - Q(S_t, A_t)|\)
   \(\pi(S_t) \gets \underset{a}{argmax} \ Q(S_t, a)\) (with ties broken consistently)
   If \(A_t \ne \pi(S_t)\) then ExitForLoop
   \(W \gets W \frac{1}{\mu(A_t|S_t)}\)

总结

蒙特卡洛方法和动态规划的区别

1. 动态规划是基于模型的，而蒙特卡洛方法是无模型的。

注：基于模型(model-base)还是无模型(model-free)是看(状态或者行动)价值(\(G, v(s), q(s,a)\))是如何得到的？
如果是已知的、根据已知的数据计算出来的，就是基于模型的。
如果是取样得到的、试验得到的，就是无模型的。

1. 动态规划的计算的，而蒙特卡洛方法的计算是取样性的(sampling)。

注：引导性的(bootstrapping)还是取样性的(sampling)是看(状态或者行动)价值(\(G, v(s), q(s,a)\))是如何计算的？
如果是根据其它的价值计算的，就是引导性的。
如果是通过在实际环境中模拟的、取样的，就是取样性的。
引导性和取样性并不是对立的。可以是取样的，并且是引导的。
如果价值是根据其它的价值计算的，但是有部分值（比如：奖赏）是取样得到的，就是无模型、取样的、引导性的。

解释：
上面两个区别，可以从计算状态价值\(v_{\pi}(s), q_{\pi}(s, a)\)的过程来看：
动态规划是从初始状态开始，一次计算一步可能发生的所有状态价值，然后迭代计算下一步的所有状态价值。这就是引导性。
蒙特卡洛方法是从初始状态开始，通过在实际环境中模拟，得到一段情节（从头到结束）。
比如，如果结束是失败了，这段情节上的状态节点，本次价值都为0,；如果成功了，本次价值都为1。

下面的比喻（虽然不太恰当，但是比较形象）
想象一棵树，动态规划是先算第一层的所有节点价值，然后算第二层的所有节点价值。
蒙特卡洛方法，随便找一个从根到叶子的路径。根据叶子的值，计算路径上每个节点价值。
可以看出蒙特卡洛方法比较方便。

蒙特卡洛方法的优势

• 蒙特卡洛方法可以从交互中直接学习优化的策略，而不需要一个环境的动态模型。
  环境的动态模型 - 似乎表示环境的状态变化是可以完全推导的。表明了解环境的所有知识。
  说白了，就是可以计算\(v(s), q(s, a)\)这意味着必须了解所有状态变化的可能性。
  蒙特卡洛方法只需要一些（可能是大量的）取样就可以。

• 蒙特卡洛方法可以用于模拟（样本）模型。

• 蒙特卡洛方法可以只考虑一个小的状态子集。

• 蒙特卡洛方法的每个状态价值计算是独立的。不会影响其他的状态价值。

蒙特卡洛方法的劣势

• 需要大量的探索（模拟）。
• 基于概率的，不是确定性的。

参照

• Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
• 强化学习读书笔记 - 00 - 术语和数学符号
• 强化学习读书笔记 - 01 - 强化学习的问题
• 强化学习读书笔记 - 02 - 多臂老O虎O机问题
• 强化学习读书笔记 - 03 - 有限马尔科夫决策过程
• 强化学习读书笔记 - 04 - 动态规划