2021牛客暑期多校 1H - Hash Function (多项式乘法FFT、类埃氏筛)
题意
给定\(n\)个互不相同的范围在\([0,500000]\)内的数
要求求出最小的模数\(seed\),使得所有数与\(seed\)取模后仍是互不相同的
思路(快速傅里叶变换)
大部分队伍都是直接当想法题过掉的,本篇给出使用多项式乘法的解法
首先,答案的最小值应是数字的数量\(n\),最大值应是数字的最大值\(+1\)
所以得出\(seed\in[n,500001]\)(根据输入可以再缩小,但没必要)
然后考虑本题要求
假如我们当前选择了一个\(seed\),使得某两个数\(a,b\)对其取模后相同,即
换言之,实际上\(a\)与\(b\)的差值也就是\(seed\)的倍数,即
所以对于\(seed\)的选取,一定不能是任意两个数的差值(或者这个差值的因子)
所以需要处理出这些数字两两之间的差值,这里可以借助多项式乘法将\(O(n^2)\)的枚举优化成\(O(nlogn)\)
由于计算的是\(a-b\),并且(根据\(FFT\)板子易知)在多项式乘法中不允许出现负数下标(因为多项式乘法原本计算的是两两之和的种类数\(a+b\),而不是本题中两两之差)
为了能让\(a\)和\(-b\)能够分别存储,所以我们需要为每个数加上一个基础值\(avg\),使得\(a+avg\)和\(-b+avg\)都在\(0\)以上
显然,\(avg\ge 500000\)
然后跑一遍\(FFT\),求出所有\((a+avg)+(-b+avg)\)的种类数
将得到的多项式提取出来,\((a+avg)+(-b+avg)-avg\times 2\)也就是\(a-b\)的值,将每种差值是否出现记录在\(vis\)数组中
接下来就是最后一步,将所有出现的差值及其因子直接排除,选出最小的答案
枚举因子可能需要\(O(n\sqrt{n})\),可能会炸
所以我们直接枚举\(seed\in[n,500001]\),对于某个可能是答案的数(不是差值),找一下是否存在差值是其倍数(直接枚举倍数即可),如果没有差值是其倍数,则找到了答案
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3000050;
const double PI=acos(-1.0);
const int avg=500000;
int vis[500050];
int lim=1,rev[N];
struct cp
{
double x,y;
cp(double u=0,double v=0){x=u,y=v;}
friend cp operator +(const cp &u,const cp &v){return cp(u.x+v.x,u.y+v.y);}
friend cp operator -(const cp &u,const cp &v){return cp(u.x-v.x,u.y-v.y);}
friend cp operator *(const cp &u,const cp &v){return cp(u.x*v.x-u.y*v.y,u.x*v.y+u.y*v.x);}
}f[N],g[N];
void FFT(cp *a,int tp)
{
for(int i=0;i<lim;i++)
if(i<rev[i])
swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int md=1;md<lim;md<<=1)
{
cp rt=cp(cos(PI/md),tp*sin(PI/md));
for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp)
{
cp w=cp(1,0);
for(int i=0;i<md;i++,w=w*rt)
{
cp x=a[pos+i],y=w*a[pos+md+i];
a[pos+i]=x+y;
a[pos+md+i]=x-y;
}
}
}
}
void initFFT(int n)
{
int lg=0;
while(lim<=n)
lg++,lim<<=1;
for(int i=0;i<lim;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int d;
scanf("%d",&d);
//记录d和-d
f[avg+d].x+=1;
g[avg-d].x+=1;
}
//根据乘法的值域预处理FFT蝴蝶变换,加快FFT速度
initFFT(avg*4);
//正常FFT流程
FFT(f,1),FFT(g,1);
for(int i=0;i<lim;i++)
f[i]=f[i]*g[i];
FFT(f,-1);
//记录是否存在差值为i的情况(i+avg*2即多项式乘法内的结果下标)
for(int i=1;i<=500001;i++)
vis[i]=(int)round(f[i+avg*2].x/lim);
//枚举seed,判断可行性
for(int i=n;i<=500001;i++)
{
if(vis[i]>0)
continue;
for(int j=i+i;j<=500000;j+=i)
{
//如果存在差值j(i的倍数),则i不可行
if(vis[j])
{
vis[i]=1;
break;
}
}
//i可行,作为模数输出即可
if(vis[i]==0)
{
cout<<i<<'\n';
return 0;
}
}
return 0;
}