Codeforces 662C - Binary Table (FWT)
CROC 2016 - Final Round [Private, For Onsite Finalists Only] C. Binary Table
题意
给定一张\(n\)行\(m\)列的\(01\)图,可以无限次选择某行或者某列将其所有元素翻转(\(0\rightarrow1\)或\(1\rightarrow 0\) )
问任意操作后得到的图中\(1\)的数量的最小值
限制
\(1\le n\le 20,\ 1\le m\le 10^5\)
思路
先考虑状态压缩,枚举行翻转的状态\(x\),由于\(n_{max}=20\),故最多仅需枚举\(2^{20}\)种状态
记\(x_i=1\)表示第\(i\)行需要翻转,\(x_i=0\)表示第\(i\)行不进行翻转
枚举出行翻转的状态后,记\(f_y\)表示初始状态为\(y\)的列的数量
发现\(x\oplus y\)就表示在行翻转的状态为\(x\)的条件下,初始状态为\(y\)的列的现有状态
记\(g_y\)表示状态为\(y\)时的答案,故\(g_y\)的值为\(y\)的二进制表示下\(0\)的数量与\(1\)的数量的较小值
所以当行翻转状态为\(x\)时,答案就是所有现列状态为\(x\oplus y\)的数量与在原状态下的答案\(g_y\)的乘积之和,即
\[h_x=\sum_{y=0}^{limit} f_{y\oplus x}*g_y
\]
该卷积式子直接使用异或\(FWT\)计算即可
最后在所有行翻转状态之中取最小值作为答案
程序
(295ms/6000ms)
//#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
//#include<ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include<bits/stdc++.h>
#define closeSync ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define multiCase int T;cin>>T;for(int t=1;t<=T;t++)
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define repp(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define perr(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);i--)
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
//using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> P;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const ll LINF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps=1e-12;
const double PI=acos(-1.0);
const double angcst=PI/180.0;
const ll mod=998244353;
ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
ll qmul(ll a,ll b){ll r=0;while(b){if(b&1)r=(r+a)%mod;b>>=1;a=(a+a)%mod;}return r;}
ll qpow(ll a,ll n){ll r=1;while(n){if(n&1)r=(r*a)%mod;n>>=1;a=(a*a)%mod;}return r;}
ll qpow(ll a,ll n,ll p){ll r=1;while(n){if(n&1)r=(r*a)%p;n>>=1;a=(a*a)%p;}return r;}
const int N=1<<21;
ll f[N],g[N];
void FWT_xor(ll *P,int lim,int opt)
{
for(int i=2;i<=lim;i<<=1)
for(int p=i>>1,j=0;j<lim;j+=i)
for(int k=j;k<j+p;++k)
{
ll x=P[k],y=P[k+p];
P[k]=(x+y);P[k+p]=x-y;
if(opt==-1)P[k]=P[k]/2,P[k+p]=P[k+p]/2;
}
}
char mp[21][100050];
void solve()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
repp(i,0,n)
cin>>mp[i];
int lim=1<<n;
repp(j,0,m)
{
int sta=0;
repp(i,0,n)
if(mp[i][j]=='1')
sta|=1<<i;
f[sta]++;
}
repp(i,0,lim)
{
g[i]=__builtin_popcount(i);
if(n-g[i]<g[i])
g[i]=n-g[i];
}
FWT_xor(f,lim,1);
FWT_xor(g,lim,1);
repp(i,0,lim)
f[i]*=g[i];
FWT_xor(f,lim,-1);
ll ans=1ll*n*m;
repp(i,0,lim)
ans=min(ans,f[i]);
cout<<ans<<'\n';
}
int main()
{
closeSync;
//multiCase
{
solve();
}
return 0;
}