威佐夫博弈）

HDU 6869 - Slime and Stones

题意

有两堆石子，数量分别为\(a,b\)，两人轮流取，每次必须取一个及以上的石子

每次可以任选一堆取（个数不限），也可以两堆都取（取的个数差值必须\(\leq k\)）

两人都以最优策略取石子，问是否存在一种情况使得先手必胜，是则输出\(1\)，否则输出\(0\)

限制

\(1\leq T\leq 10^5\)

\(1\leq a,b\leq 10^8,\ 0\leq k\leq 10^8\)

赛时思路

这部分解法可能是现场赛几乎不可能实现的写法吧

下文令\((x,y)\)表示现在两堆石子的数量，限制\(x\leq y\)

首先考虑最小数据的必败态

根据题意可以得知，谁将某一堆石子取完，那么他的对手就可以取完另外一堆，所以这种方式必败

或者如果两堆石子数量差在\(k\)之内（\(|a-b|\leq k\)），那么就可以直接拿走两堆内所有石子并获胜

所以可以得到，如果较少的堆内剩余\(1\)粒石子，较多的堆内剩余\(k+2\)粒，那么当前不论怎么操作都会输掉这场比赛

得到：\((1,k+2)\)为最小数据下的必败态

为了找到规律，我们枚举两堆石子中较少堆的数量

当较少的堆中仅存在\(1\)粒石子时——

当剩余情况为\((1,i),\ 1\leq i\leq k+1\)时，当前操作的人可以直接拿完两堆，所以必胜

当剩余情况为\((1,k+2)\)时，必败

当剩余情况为\((1,i),\ i\geq k+3\)时，当前操作的人可以将其转换到\((1,k+2)\)的情况，所以必胜

相同的，当较少的堆中仅存在\(2\)粒石子时——（这里不适用于\(k=0\)的情况）

当剩余情况为\((2,i),\ 2\leq i\leq k+2\)时，当前操作的人可以直接拿完两堆，所以必胜

当剩余情况为\((2,i),\ k+3\leq i\leq 2k+3\)，将较少的堆拿去\(1\)粒，较大的堆最多可以拿\(k+1\)粒，所以可以转移到\((1,k+2)\)的状态，所以必胜

当剩余情况为\((2,2k+4)\)时，必败

当剩余情况为\((2,i),\ i\geq 2k+5\)时，当前操作的人可以将其转换到\((2,2k+4)\)的情况，所以必胜

直到较少的堆内存在\(k+2\)粒石子时，情况发生了变化——

当剩余情况为\((k+2,i),\ k+2\leq i\leq 2k+3\)时，当前操作的人可以直接拿完两堆，必胜

当剩余情况为\((k+2,i),\ i\geq 2k+4\)时，发现前面有个必败态为\((1,k+2)\)，他们共享\(k+2\)这个状态，所以可以从\((k+2,2k+4)\)直接转换到\((1,k+2)\)的状态，所以该情况下必胜

综上，可以得到的一个规律就是

后面的一个必败态总是可以由前一个必败态推导而来

假设\((x,y)\)是一个必败态，假设较小的堆被拿了\(1\)粒石子，那么较大的堆最多能拿\(k+1\)粒石子

显然，\((x+1,y+k+2)\)无法仅通过一步就推到\((x,y)\)，可能必败

还要考虑一点，就是\(x+1\)没有在前面的任意必败态中出现过，否则可以直接一步转移到更前面的必败态，使得该点必胜

如果\(x+1\)并未出现在前面任意一个必败态中，就可以肯定\((x+1,y+k+2)\)无法转移到任意一个必败态，则它不是必胜态，是一个必败态

以\(k=1\)的情况为例，最小必败态为\((1,3)\)

考虑\((x+1,y+k+2)\)的转移方式，显然\(x+1=2\)并未出现在前面任意一个必败态中

所以\((2,6)\)是一个必败态

继续考虑，发现下一个状态为\((3,9)\)

但是\(3\)存在于必败态\((1,3)\)内，说明\((3,9)\)可以直接转换到\((1.3)\)，这是个必胜态

为了让其不能一遍转移得到，则可以假设两堆都多取了一粒石子，即考虑\((x+1+1,y+k+2+1)\)

发现\(2+1+1=4\)并未出现，所以\((4,10)\)是一个必败态

一直这样考虑下去，粗略得到\(k=1\)的必败态分布情况为

\[(1,3)\\(2,6)\\(4,10)\\(5,13)\\(7,17)\\ (8,20)\\(9,23)\\(11,27)\\(12,30)\\(14,34)\\ (15,37)\\(16,40)\\(18,44)\\(19,47)\\(21,51)\\ (22,54)\\(24,58)\\(25,61)\\(26,64) \]

观察这个分布，得到一个规律：

\((a,b)\)的\(b-a\)值以\(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,\dots\)递增

这可能是一个入手点，那么我们把\(k=0\)的表打出来试试

当\(k=0\)时，最小数据必败态为\((1,2)\)

按规律打表如下

\[(1,2)\\(3,5)\\(4,7)\\(6,10)\\(8,13)\\ (9,15)\\(11,18)\\(12,20)\\(14,23)\\(16,26)\\ (17,28)\\(19,31)\\(21,34)\\(22,36)\\(24,39)\\ (25,41)\\(27,44) \]

得到\(b-a\)的值以\(1,2,3,4,5,6,7,\dots\)递增

可以得到，\(b-a\)的值是一个首项为\(k+1\)，公差为\(k+1\)的等差数列

所以我们可以根据\(\frac {b-a}{k+1}\)来确定某个状态在必败态中的项数

如果你想问为什么要求出项数，看下面……

实际上打出表就能发现

必败态的\(b\)数值分布存在一个规律（\(b_i-b_{i-1}\in\{k+2,k+3\}\)）

假如这个\(\{b\}\)数列存在着通项公式，那么肯定是形如\(b_i=\lfloor i\times k\rfloor,\ k\in\R\)

这样才能保证前后两项差值固定在一个集合内（虽然这个常数\(k\)可能很难表示）

那么我们就大胆着手于找通项公式

这里开始往下应该也可以采用线性递推模板解决，不过我没试过，不确定会不会被卡

打开OEIS，准备尝试玄学求出可能的通项（这是个能根据数列前几项或者中间几项求出通项公式的工具）

但不同的\(k\)肯定对应着不同的通项公式，所以我们再把\(k=2,3,4\)的表稍微打出前几项

当\(k=2\)时，必败态为

\[(1,4)\\(2,8)\\(3,12)\\(5,17)\\(6,21)\\ (7,25)\\(9,30)\\(10,34)\\(11,38)\\(13,43)\\ (14,47)\\(15,51)\\(16,55) \]

当\(k=3\)时，必败态为

\[(1,5)\\(2,10)\\(3,15)\\(4,20)\\(6,26)\\ (7,31)\\(8,36)\\(9,41)\\(11,47)\\(12,52)\\ (13,57)\\(14,62) \]

当\(k=4\)时，必败态为

\[(1,6)\\(2,12)\\(3,18)\\(4,24)\\(5,30)\\ (7,37)\\(8,43)\\(9,49)\\(10,55)\\(11,61)\\ (13,68)\\(14,74)\\(15,80) \]

于是我们得到了五个数列\(\{b\}\)，如下

\[\{b\}= \left \{ \begin{aligned} 2,5,7,10,13,15,18,20,&23,26,28,31,34,\dots (k=0)\\ 3,6,10,13,17,20,23,27,&30,34,37,40,44,\dots (k=1)\\ 4,8,12,17,21,25,30,34,&38,43,47,51,55,\dots (k=2)\\ 5,10,15,20,26,31,36,&41,47,52,57,62,\dots (k=3)\\ 6,12,18,24,30,37,43,&49,55,61,68,74,\dots (k=4)\\ \dots & \end{aligned} \right . \]

根据OEIS的输出，得出（需要稍微转化一下）

\[b_n= \left \{ \begin{aligned} \lfloor n\times \frac{3+\sqrt 5}{2} \rfloor&,\ k=0\\ \lfloor n\times \frac{4+\sqrt 8}{2} \rfloor&,\ k=1\\ \lfloor n\times \frac{5+\sqrt {13}}{2} \rfloor&,\ k=2\\ \lfloor n\times \frac{6+\sqrt {20}}{2} \rfloor&,\ k=3\\ \lfloor n\times \frac{7+\sqrt {29}}{2} \rfloor&,\ k=4\\ \dots & \end{aligned} \right . \]

容易发现规律，并得到通项表达如下

\[b_k=\lfloor n\times \frac{x+\sqrt y}{2} \rfloor\\ x=k+3\\ y=5+\frac{3+(k\times 2+1)}{2}\times k \]

（\(y\)为\({5,8,13,20,29,\dots}\)，每项差\(3,5,7,9,\dots\)，可以拆成\(5+\)等差数列求和）

得到了\(\{b\}\)数列的通项，那该怎么判断对应的是哪一项，是不是必败态呢

前面提到，我们能够根据\(b-a\)的值获得项数为\(\frac{b-a}{k+1}\)

根据项数代入公式即可求出必败态这一项的\(b\)

判断下两个\(b\)是不是相同的就能确定是不是必败态了

程序

(78ms/1000ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

void solve()
{
    ll a,b,k;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k);
    if(a>b)
        swap(a,b);
    if((b-a)%(k+1)==0)
    {
        int id=(b-a)/(k+1);
        ll x=3+k,y=(3+k*2+1)*k/2+5;
        ll tmp=(x+sqrt(y))*id/2.0;
        if(tmp==b)
            puts("0");
        else
            puts("1");
    }
    else
        puts("1");
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}