数论 - 青蛙的约会

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4


------------------------------------------------我是分割线^_^-----------------------------------------------------------

此题其实就是扩展欧几里德算法-求解不定方程,线性同余方程。设过s步后两青蛙相遇,则必满足以

下等式:(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k属于整数)

稍微变一下形得:(n-m)*s+k*l=x-y,令n-m=a, k=b,x-y=c, 即a*s+b*l=c只要上式存在整数解,则两青蛙能相遇

否则不能。


是一道乘法逆元的题目,我没管什么原理,直接学习模板的使用,因为太难理解了,看了半天
还没完全懂扩展欧几里德= =,总之
在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题,可都没有说
全,都只说了一部分,看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程,步骤如下:

求a * x + b * y = n的整数解。

1、先计算Gcd(a,b),若n不能被Gcd(a,b)整除,则方程无整数解;否则,在方程两边同时除以Gcd(a,b),

得到新的不定方程a' * x + b' * y = n',此时Gcd(a',b')=1;

2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0,则n' * x0, n' * y0是方程

a' * x + b' * y = n'的一组整数解;

3、根据数论中的相关定理,可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为:

x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t为整数)

上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

补充一个网站看到的简便方法,最小非负整数解为(n' * x0 % b' + b') % b'。

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cctype>
using namespace std;

#define Int __int64
#define INF 0x3f3f3f3f

Int ExGcd(Int a, Int b, Int &x, Int &y) {/*注意这个题要求解方程时同时求出最大公约数,公约数单独求会超时= =*/ if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } Int gcd = ExGcd(b, a % b, x, y); Int t = y; y = x - a / b * y; x = t; return gcd; } int main() { //freopen("input.txt", "r", stdin); Int x, y, m, n, L; while (scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d", &x, &y, &m, &n, &L) != EOF) { Int a = n - m; Int b = L; Int c = x - y; Int x1, y1; Int gcd = ExGcd(a, b, x1, y1); if (c % gcd) { printf("Impossible\n"); continue; } a /= gcd; b /= gcd; c /= gcd; Int ans = (c * x1 % b + b) % b; printf("%I64d\n", ans); } return 0; }
posted @ 2016-08-10 20:37  苍鼠  阅读(245)  评论(0编辑  收藏  举报