算法第二章上机实践报告

题目：最大子列和问题

问题描述：

给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

• 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
• 数据2：10²个随机整数；
• 数据3：10³个随机整数；
• 数据4：10⁴个随机整数；
• 数据5：10⁵个随机整数；

输入格式：

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:


   20

算法描述：


#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSubSum(int* a, int left,int right )
{
    int sum=0;
    if(left==right)
    {
        sum=a[left]>0?a[left]:0;
    }
    else
    {
        int mid=(left+right)/2;
        int leftsum=MaxSubSum(a,left,mid);
        int rightsum=MaxSubSum(a,mid+1,right);
        int sum1=0;
        int lefts=0;
        for(int i=mid;i>=left;i--)
        {
            lefts +=a[i];
            if(lefts>sum1)
               sum1=lefts;
        }
        int sum2=0;
        int rights=0;
        for(int i=mid+1;i<=right;i++)
        {
            rights +=a[i];
            if(rights>sum2)
               sum2=rights;
        }
        sum=sum1+sum2;
        if(sum<leftsum)
          sum=leftsum;
        if(sum<rightsum)
          sum=rightsum;
    }
    return sum;
    
}
int main()
{
    int n,a[100000];
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
       cin>>a[i];
    cout<<MaxSubSum(a,0,n-1);
    return 0;
}

Tips：

从一开始考虑，我们也许会想到暴力解法：即用两层循环枚举起点和终点，这样就尝试了所有的子序列，然后计算每个子序列的和，然后找到其中最大的即可。但此算法复杂度为O（N^3），效率低。

根据暴力解法我们可以进行一个小的优化：如果我们有这样一个数组sum，sum[i]表示第1个到第i个数的和。那么我们就可以用sum[j] - sum[i-1]快速计算第i个到第j个这个序列的和。这样的话，我们省掉最内层的循环，算法复杂度便到了O(N^2)，大大提高了效率。

但是老师提出了一个可以更加优化的想法：利用分治法进行划分。分为左半序列、右半序列、中间序列，简单分析如下：

首先，我们可以把整个序列平均分成左右两部分，答案则会在以下三种情况中：
1、所求序列完全包含在左半部分的序列中。
2、所求序列完全包含在右半部分的序列中。
3、所求序列刚好横跨分割点，即中间序列部分。

我们只要计算出：以分割点为起点向左的最大连续序列和、以分割点为起点向右的最大连续序列和，这两个结果的和就是第三种情况的答案。因为已知起点，所以这两个结果都能在O(N)的时间复杂度能算出来。

递归不断减小问题的规模，直到序列长度为1的时候，答案就出来了。

算法时间及空间复杂度分析：

这个算法的时间复杂度是O（NlogN），T（N)=2*T（N/2）+O（N）根据主定理得出最终结果是O（NlogN）。T（N/2）是将问题分成左右两边两个一样的问题，得到左右两边的递归结果，规模变成N/2。O（N)是得到跨边界最大子列和，左右扫描，每一个数都被扫描了一次，所以时间复杂度是O（N）

空间复杂度O（1），因为用到了一个确定的数组。

心得体会：

上机实践通过老师提供思路和想法，自己和同伴进行代码的编写。其实还是有那么一点点困难的。但是在两个人的努力下和老师的讲解下，慢慢理解打开思路，就感觉轻松了很多。分治法的思想是需要我们在编写代码的过程中慢慢培养的，希望自己在学习的过程中不断培养算法的多种优化思想，能够逐渐在编写过程中开拓自己的思维思路。