卡特兰数练习

学习：https://blog.csdn.net/qq_30115697/article/details/88906534?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.nonecase&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.nonecase

题1：https://www.luogu.com.cn/problem/P1641

分析：总的减去不合法的，总：C（n+m，m），不合法（n+m，m-1），前者从（0，0）到达（n+m，n-m），后者可以看作从（0，-2）到达（n+m，n-m）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pb push_back
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=1e18;
const int mod=20100403;
ll ksm(ll x,ll y){
    ll t=1;
    while(y){
        if(y&1)
            t=(t*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return t;
}
void pn(){
    cout<<"No"<<'\n';
}
void py(){
    cout<<"Yes"<<'\n';
}
int main(){
    ll n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ll fen1=1ll,mu1=1ll;
    ll now=n+m;
    for(ll i=1;i<=m;i++,now--){
        fen1*=now,fen1%=mod;
        mu1*=i,mu1%=mod;
    }
    ll fen2=1ll,mu2=1ll;
    now=n+m;
    for(ll i=1;i<=m-1;i++,now--){
        fen2*=now,fen2%=mod;
        mu2*=i,mu2%=mod;
    }
    printf("%lld\n",(fen1*ksm(mu1,mod-2)%mod-fen2*ksm(mu2,mod-2)%mod+mod)%mod);
    return 0;
}

 题2：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5477/E

分析：ans=合法方案/全部方案，合法方案：卡特兰数C（2n，n）/（n+1），全部方案：每次从2∗n个数里选两个然后从2∗n−2里再选两个，直到选完为止然后从2*n-2里再选两个。但是这样会出现重复状态，就需要再除以n!，所以为C（2n，2）*C（2n-2，2）....C（2，2）/n！。

　　　最后化简得:ans=2^n/(n+1)!

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pb push_back
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=1e18;
const int M=2e6+3;
const int mod=1e9+7;
ll ksm(ll x,ll y){
    ll t=1;
    while(y){
        if(y&1)
            t=(t*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return t;
}
void pn(){
    cout<<"NO"<<'\n';
}
void py(){
    cout<<"YES"<<'\n';
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    ll n;
    cin>>n;
    ll ans=ksm(2,n);
    ll res=1ll;
    for(ll i=2;i<=n+1;i++)
        (res*=i)%=mod;
    cout<<(ans*ksm(res,mod-2))%mod<<endl;
    return 0;
}