题解 P5451 【[THUPC2018]密码学第三次小作业】

题面

现在的题面都很长，可是我们要仔细分析。在考场上一定要想出题人的意图，我们看看题目:

\[c_1 = m^{e_1}mod N \]

\[c_2 =m^{e_2}mod N \]

考场上仔细想一想就知道，出题人难道是白痴吗，告诉你

如果找到可以快速分解大整数的方法，密码安全性就收到威胁

然后就可以在考场上叫你打一个很多人听都没听过的算法？！QwQ

所以我在考场上思考了一会儿，就注意到上面的东西（我再展示一次）

\[c_1 = m^{e_1}\mod N \]

\[c_2 =m^{e_2}\mod N \]

很显然，出题人给了你两个等式，我们的切入点就应该在两个等式的关系上入口。

我们再看题目：

设两个用户的公钥分别为e1 和e2，且两者互质。

所以根据我们要（四声）求的m，我们就会联想到指数，m的指数为1，这个时候学过欧几里得算法的人们就会警惕，诶，我们在学扩展欧几里得的时候不是见到过这个等式吗：

\[e1\times x +e2\times y=gcd(e1,e2) \]

由于我们校内检测是刚学了数论考的，所以我很容易联想到，但这也是AC这道题的基本素养。

因为两者互质，所以我们明显可以先将两个等式的指数变为只相差一的式子，然后相除（就是逆元）就可以AC了。

对于一些数论还不熟悉的同学（我在很长时间内也是），我现在讲一下为什么可以转化。

自己想：

\[x\; mod\;N=g \]

那么

\[x^{n}\;mod\;N=g^{n} \]

这是其一；

然后就是上方展示的扩展欧几里得的公式了

代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define Starseven main
using namespace std;
ll read();
void write(ll);
ll c1,c2,e1,e2,N;

ll Multi(ll a,ll b,ll p){
	ll re=0;
	while(b){
		if(b&1) re=(re+a)%p;
		b>>=1;
		a=(a*2)%p;
	}
	return re%p;
}

ll Get_exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;return a;
	}
	ll temp=Get_exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
	return temp;
}

ll Power(ll a,ll b,ll p){
	ll re=1;
	while(b){
		if(b&1) re=Multi(re,a,p);
		b>>=1;
		a=Multi(a,a,p);
	}
	return re%p;
}

int Starseven(void){
	int t=read();
	while(t--){
		c1=read(),c2=read(),e1=read(),e2=read(),N=read();
		//cout<<c1<<" "<<c2<<" "<<e1<<" "<<e2<<" "<<N<<endl; 
		ll x,y;
		ll judge=Get_exgcd(e1,e2,x,y); 
		while(x<0){
			x+=e2,y-=e1;
		}
		ll a=Power(c1,x,N),b=Power(c2,-y,N); 
		ll f,g;
		ll hh=Get_exgcd(b,N,f,g);
		ll ans=Multi(f,a,N);
		ans=(ans+N)%N;
		write(ans);
		puts("");
	}
	return 0;
} 

ll read(){
	char ch=getchar();
	ll re=0,op=1;
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') op=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		re=re*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return re*op;
}

void write(ll x){
	if(x<0){
		putchar('-');
		x=-x;
	}
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	return ;
}