强连通分量

强连通图判定

从一个点出发，可以遍历整张图，再将所有的边反向，从同一点出发，可以遍历整张图，则该图是强连通图

Tarjan求有向图强连通分量

$dfn[u]$ 表示点 $u$ 的dfs序， $low[u]$ 表示点 $u$ 可以走到的dfs序最小的点

我们在dfs树上，当一个点的 $low[u] = dfn[u]$ ,即它无法进一步向上走时，我们就找到了一个强连通分量

Code:

int dfn[N],low[N],ins[N],stk[N],top,ts,tot,scc[N];
inline void tarjan(int u)
{
	dfn[u]=low[u]=++ts;
	ins[u]=1;
	stk[++top]=u;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
	{
		int v=edge[i].v;
		if(!dfn[v])
		{
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(ins[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(low[u]==low[v])
	{
		int x;++tot;
		do{
			x=stk[top--];
			scc[x]=tot;
			ins[x]=0;
		}while(x!=u);
	}
}

Trick：出栈顺序为拓扑序的倒序

Kosaraju算法

算法流程

先将图 $G$ 所有的边反转得到图 $G^{'}$ ，计算 $G^{'}$ 的拓扑序并按照 $G^{'}$ 的拓扑序对 $G$ 进行深度优先搜索

证明

对于两个点 $x, y$ ，如果在图 $G$ 中存在 $x \to y$ ，拓扑序中 $x$ 在 $y$ 前面，即 $G^{'}$ 中存在 $x \to y$ ，即 $G$ 中存在 $y \to x$ ，因此 $x, y$ 在同一强连通分量中

HAOI2006 受欢迎的牛

题面

给定 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，求出能够被所有点到达的点

$n \leq 1 \times 10^{4}, m \leq 5 \times 10^{5}$

题解

求强连通分量，缩点。如果只有一个出度为 $0$ 的点，那么这个点就是答案；如果这个数量大于等于 $2$ ，那么无解

ZJOI2007 最大半连通子图

题面

有一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，你要找一个点集 $S$ ，使得 $u, v$ 在 $S$ 中有 $u$ 能到达 $v$ 或者 $v$ 能到达 $u$
求出最大的 $S$ ，然后求有多少种选法

$n \leq 10^{5}, m \leq 10^{6}$

题解

缩点，要求的最大半联通子图一定是DAG上的一条链，分别记 $f [i], g [i]$ 表示大小和方案数，dp即可

割点

定义

无向图中，删掉该点后使得图不连通，则该点为割点

求法

对于一个点 $u$ 和它的一个儿子 $v$

如果该点是根，那么儿子数 $\geq 2$ 就是割点
如果该点不是根，那么当 $low[v] >= dfn[u]$ 时该点就是割点

Code:

int dfn[maxn],low[maxn],ts,rt;
std::vector<int> cut;
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++ts;
	int son=0;
	for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].v;
		if(!dfn[v]){
			++son;
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if((u==rt&&son>1)||(u!=rt&&low[v]>=dfn[u]))
				cut.push_back(u);
		}
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}

桥

定义

无向图中，删掉一条边使得图不连通，这条边就是桥

求法

对于一条边 $u \to v$ ，如果 $low[v] > dfn[u]$ ，则该边就是桥

Code:

int dfn[maxn],low[maxn],ts,rt;
std::vector<pii> bridge;
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++ts;
	for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].v;
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>dfn[u])
				bridge.push_back(mkp(u,v));
		}
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}

变双联通分量/无向图缩点

边双连通分量

删掉该点集中任意一条边都不会影响该点集的连通性，则称该点集为一个边双强连通分量

Code:

inline void tarjan(int u,int fa)  
{  
    low[u]=dfn[u]=++ts;  
    ins[u]=1;  
    stk[++top]=u;  
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)  
    {  
        int v=edge[i].v;  
        if(v==fa) continue;  
        if(!dfn[v])         {  
            tarjan(v,u);  
            low[u]=min(low[u],low[v]);  
        }  
        else low[u]=min(low[u],dfn[v]);  
    }  
    if(low[u]==dfn[u])  
    {  
        int x;++tot;  
        do{  
            x=stk[top--];  
            ins[x]=0;  
            dcc[x]=tot;  
        }while(x!=u);  
    }  
}

DFS树求割点/桥

对于每一条非树边 $(u, v)$ ，让 $u + 1$ ，让 $v - 1$ （注意这里一定是返租边），那么就可以求出每一边/点的覆盖次数，覆盖次数为 $0$ 的就是割点/桥

动态加边维护桥

上面那个做法可以在线完成

可以使用一个并查集维护当前双联通分量中的点，记录一下每个双联通分量中最高的点。

然后对于一条非树边，暴力将这些点合并起来即可

因为一条边最多被合并一次，需要不超过 $O (m)$ 次的并查集操作

点双联通分量/圆方树

点双连通分量

删掉点集中的任意一个点，该点集仍然连通，则称该点集是一个点双连通分量

圆方树

原图中所有的点作为圆点，对于每一个点双，我们建立一个方点，让这个方点连接点双中的每一个点，那么所有的度数大于 $1$ 的圆点都是割点

实际题目中，可以给圆方树的圆点/方点赋上不同的权值，再通过dp、树剖等方式来计算答案

Code:

int dfn[N],low[N],ts,tot,stk[N],top,val[N],sum;
vector<int> G[N];
inline void tarjan(int u)
{
	++sum;
	dfn[u]=low[u]=++ts;
	stk[++top]=u;
	val[u]=-1;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
	{
		int v=edge[i].v;
		if(!dfn[v])
		{
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u])
			{
				int x;++tot;
				do{
					x=stk[top--];
					++val[tot];
					G[x].emplace_back(tot);
					G[tot].emplace_back(x);
				}while(x!=v);
				++val[tot];
				G[u].emplace_back(tot);
				G[tot].emplace_back(u);
			}
		}
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}

小Trick

给你一个图，每条边都只在一个环内，等价于每个点双联通分量是一条边或者一个环

POJ 3177 Redundant Paths

题面

给定 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，求至少需要加多少条边使得整张图成为边双联通分量

$n \leq 1 \times 10^{4}, m \leq 5 \times 10^{4}$

题解

缩点，以任意一个度数大于 $1$ 的点为根，记叶子数为 $l$ ，答案即为 $⌈ \frac{l}{2} ⌉$

POI2008 BLO-Blockade

题面

给定 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，求将与每个点四周的边去掉之后有多少对点不连通（ $(x, y)$ , $(y, x)$ 算两种情况）

$n \leq 1 \times 10^{5}, m \leq 5 \times 10^{5}$

题解

对于每一个点 $i$

如果 $i$ 不是割点，那么就会产生以 $2 (n - 1)$ 对与 $i$ 有关的不连通点对
如果 $i$ 是割点，设删掉与 $i$ 有关的边之后产生了 $k$ 个连通块，那么答案就为
$2 (n - 1) + \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1, j \neq i}^{k} siz [i] \times siz [j]$
考虑优化，我们有
$\sum_{j = 1, j \neq i}^{k} siz [j] = n - siz [i] - 1$

计算答案即可

HNOI2012 矿场搭建

题面

给定 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，要求从中选出最少的关键点，使得无论删除哪个点，其余的点都存在通往关键点的路径，求出关键点数量和方案数

$n \leq 500, m \leq 1000$

题解

建立圆方树，对于所有叶节点，它们不是割点，不会影响连通性，如果该点为割点那么设 $f [u]$ 表示删掉点 $u$ 时其子树内最少的关键点数量， $g [u]$ 表示方案数，分圆方两种情况讨论

该点是圆点，那么有
${\begin{cases} f [u] = \sum_{v \in {son}_{u}} max (f [v], 1) \\ g [u] = \sum_{v \in {son}_{u}} g [v] \end{cases}$
其中当 $f [v] = 0$ 时， $g [v] = siz [v]$
该点是方点，那么有
${\begin{cases} f [u] = \sum_{v \in {son}_{u}} f [v]) \\ g [u] = \sum_{v \in {son}_{u}} g [v] \end{cases}$

P4630 [APIO2018] 铁人两项（圆方树上dp）

题目

题解

考虑到当我们固定 $s, f$ 时，我们 $c$ 的选择就是 $s$ 到 $f$ 所有简单路径的并，然后减去 $2$ (因为 $c$ 不可以选在 $s, f$ 处)

进一步考虑， $s$ 到 $f$ 简单路径的并就是路径上点双大小的并

所以建出原图的圆方树，将方点的权值设为这个点双中圆点的个数，将圆点的权值设为 $- 1$ ，那么从 $s$ 到 $f$ 简单路径的并就是圆方树上 $s$ 到 $f$ 的路径

我们设 $f_{i}$ 表示 $s, f$ 在 $i$ 子树中的方案数，考虑枚举中转点 $c$ ，分两种情况转移

点 $c$ 是圆点时，假设它有 $4$ 棵子树，它的子树对答案的贡献是

S_{1} S_{2} + S_{1} S_{3} + S_{1} S_{4} + S_{2} S_{3} + S_{2} S_{4} + S_{3} S_{4}

看上去这个转移是 $O (n^{2})$ 的,是我们可以这么做

S_{1} S_{2} + (S_{1} + S_{2}) S_{3} + (S_{1} + S_{2} + S_{3}) S_{4}

所以我们每次记一个前缀子树和，然后乘上下一个子树的大小进行转移，这是 $O (n)$ 的

当 $c$ 是方点，如果 $s, f$ 不在这个点双内，那么其贡献一定被这个点双中的圆点中就已经统计过了，所以考虑如何计算 $s, f$ 在点双内的方案数

如果 $s, f$ 中只有一个在点双中，那么 $c$ 可以选的位置就有 $d e g - 1$ 个，总共有 $d e g \times (d e g - 1)$ 次贡献，但是当 $f$ 选在了割点处，那么 $c$ 就无处可选了，乘的另外一部分是相同的，所以整个就少选了 $d e g$ 次，所以总次数就变成了 $d e g \times (d e g - 2)$
如果 $s, f$ 都在点双内部，显然可以选择的位置就有 $d e g - 2$ 个

所以在上面圆点的转移乘上 $d e g - 2$ 的系数就行了

posted on 2023-09-11 19:55 star_road_xyz 阅读(9) 评论(0) 编辑收藏举报

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