数据结构优化dp

滚动数组

在dp时经常会发现只有相邻阶段间状态才会有直接联系,在转移方程中的体现形如：只有前 $m$ 个阶段能影响当前阶段的状态,因此我们不需要储存下 $n$ 个阶段的所有状态,只需要储存 $m$ 个阶段的状态,以做到优化存储空间的目的。

用这种方法可以将dp某一维干掉,把 $\mathcal{O}(N)$ 的空间复杂度优化到常数

值域树状数组/平衡树优化dp

考虑dp方程

$$f[x]=\underset{1\le i<x\text{且}h[i]<h[x]}{min}\{f[i]+w[i]\}$$

可以将 $h$ 数组离散化然后用树状数组维护,也可以维护平衡树来动态支持 $h[i]$ 的插入删除

前缀和优化

略

单调队列

当你发现题目的转移满足这种形式时

$$f[x]=\underset{i=x-m+1}{\overset{x}{min}}g[i]$$

也就是滑动窗口,使用单调队列是最好的选择

有些题目的转移式写出来可能不是这个形式,但是通过移项拆分,将相同变量的放到一起,可以凑出这种形式,具体可以参考后面标上单调队列建模标签的题目

ybtoj 金牌导航 递增子序列 (值域树状数组)

题目

给定 $n$ 个数字组成的序列,问长度为 $m$ 的严格上升子序列有多少个

$1\le n\le {10}^4,1\le m\le 100$

题解

首先将数字离散化,然后进行dp

设 $f[i][j]$ 表示以第 $i$ 个元素结尾的长度为 $j$ 的上升子序列的个数,那么有

$$f[i][j]=\sum _{a[k]<a[i]}^{k<i}f[k][j-1]$$

然后你发现你要求的是值域上的一段区间,所以考虑使用树状数组优化即可

P2605 [ZJOI2010]基站选址 (线段树)

题目

有 $N$ 个村庄坐落在一条直线上，第 $i(i>1)$ 个村庄距离第 $1$ 个村庄的距离为 $D_i$。需要在这些村庄中建立不超过 $K$ 个通讯基站，在第 $i$ 个村庄建立基站的费用为 $C_i$。如果在距离第 $i$ 个村庄不超过 $S_i$ 的范围内建立了一个通讯基站，那么就村庄被基站覆盖了。如果第 $i$ 个村庄没有被覆盖，则需要向他们补偿，费用为 $W_i$。现在的问题是，选择基站的位置，使得总费用最小。

$K\le N$，$K\le 100$，$N\le 20,000$，$D_i\le 1000000000$，$C_i\le 10000$，$S_i\le 1000000000$，$W_i\le 10000$。

题解

设 $f[i][j]$ 表示第 $j$ 个基站建在 $i$ 村庄的最小费用,那么有转移

$$f[i][j]=\underset{k=1}{\overset{i-1}{min}}\{f[k][j-1]+\text{cost}[k][i-1]\}+c[i]$$

其中 $\text{cost}[i][j]$ 表示村庄 $i$ 到村庄 $j$ 的赔偿费用

由于 $j$ 这一维连续,那么这一维可以删掉,转移方程可以改写成

$$f[i]=\underset{k=1}{\overset{i-1}{min}}\{f[k]+\text{cost}[k][i-1]\}+c[i]$$

这个题妙的地方来了,这里单独计算 $\text{cost}[i][j]$ 并不容易,于是我们可以将所有 $\text{cost}$ 代表的花费全都加在 $f$ 数组中

具体来说,我们通过二分找出第 $i$ 个村庄的范围是 $[l_i,r_i]$,那么我们在转移 $i$ 的时候,如果上一个基站建在了 $[1,l_i)$ 中,那么我们就需要给 $i$ 支付赔偿费用,所以我们可以直接将 $i$ 的赔偿费用,加在 $f$ 数组中,我们可以维护一个线段树支持区间加区间求 $min$ 就解决了这道题

时间复杂度 $\mathcal{O}(nk\log n)$

BZOJ3688 折线统计 (值域树状数组)

题目

题解

先将点按照横坐标大小排序

设 $f[i][j][0/1]$ 表示考虑到第 $i$ 个点,当前已经有了 $j$ 条折线,当前折线是上升还是下降

转移如下

$$\begin{gathered} f[i][j][0]=\sum _{k=1,y_k>y_i}^{i-1}(f[k][j][0]+f[k][j-1][1]) \\ f[i][j][1]=\sum _{k=1,y_k<y_i}^{i-1}(f[k][j-1][0]+f[k][j][1]) \end{gathered}$$

然后值域树状数组优化就做完了

时间复杂度 $O(nk\log n)$

P6089 [JSOI2015]非诚勿扰 (与极限有关的推导和树状数组求逆序对)

题目

一共有 $N$ 位客人和 $M$ 本书，他们都希望能够找到一本适合自己的书。

$1\sim N$ 的书都被编上了一个号码，并且每本书的编号不一样。

每个客人都有一个选书列表，对于每一本书，他有 $p$ 的概率选择这本书（换言之，会以 $1-p$ 的概率拒绝这本书）。

如果他拒绝这本书，他就会去看下一本书，如果他不选最后一本书，则他又会从第一本书开始选书，直到他找到一本适合自己的书。

当然，两个客人可能选到同一本书。

在考虑任意两个不同的客人 $a$ 和 $b$ ，如果 $a$ 的编号比 $b$ 的编号小，而 $a$ 选择的书的编号比 $b$ 选择的编号大，那么 $a$ 和 $b$ 就叫做一对不稳定因素。

店主希望求出不稳定因素的期望数目。

$1\le N,M\le 5\times {10}^5$

题解

考虑一个人在它的列表中选第1本书的概率。假设他的列表长度为 $k$

$$g(1)=P+(1-P{)}^{k}P+(1-P{)}^{2k}P+\cdots$$

即

$$g(1)=P\frac{1-(1-P{)}^{\mathrm{\infty }}}{1-(1-P{)}^k}=\frac{P}{1-(1-P{)}^k}$$

然后可以推出 $g(i)=g(i-1)\times (1-p)$

最后值域树状数组求逆序对即可

时间复杂度 $\mathcal{O}(M\log N)$

P7302 [NOI1998] 免费的馅饼 (排序+值域树状数组)

题目

题解

设 $f[i]$ 表示考虑完前 $i$ 个馅饼时的最大分数

转移方程为

$$f[i]=\underset{j=1}{\overset{i-1}{max}}\{f[j]\}+v[i]$$

其中

$$2\times (t[i]-t[j])\ge |p[i]-p[j]|$$

对绝对值分类讨论

$$\{\begin{array}{l}p[i]-2\times t[i]\le p[j]-2\times t[j](p[i]<p[j])\\ p[i]+2\times t[i]\ge p[j]+2\times t[j](p[i]\ge p[j])\end{array}$$

第一个条件排序干掉,第二个条件离散化后使用值域树状数组优化,这样就可以保证同时满足两个条件

时间复杂度为 $O(n\log n)$

P3287 [SCOI2014]方伯伯的玉米田 (二维树状数组)

题目

方伯伯在自己的农田边散步，他突然发现田里的一排玉米非常的不美。这排玉米一共有 $N$ 株，它们的高度参差不齐。方伯伯认为单调不下降序列很美，所以他决定先把一些玉米拔高，再把破坏美感的玉米拔除掉，使得剩下的玉米的高度构成一个单调不下降序列。方伯伯可以选择一个区间，把这个区间的玉米全部拔高 $1$ 单位高度，他可以进行最多 $K$ 次这样的操作。拔玉米则可以随意选择一个集合的玉米拔掉。问能最多剩多少株玉米，来构成一排美丽的玉米。

$2\le N<{10}^4$，$2\le K\le 500$，$1\le a_i\le 5000$。

题解

拔高玉米有一个显然的贪心策略:每次拔的区间都形如 $[i,n]$,因为这样不会使得答案变劣

然后既然我们要拔高 $i$ ,那么 $i$ 就一定要在最终的答案序列中,不然就拔了个寂寞

设 $f[i][j]$ 表示LIS以 $i$ 为结尾,$i$ 被拔高了 $j$ 次最长不降子序列的长度,转移有

$$f[i][j]=\underset{1\le k\le i,0\le l\le j,a[k]+l\le a[i]+j}{max}\{f[k][l]\}+1$$

然后我们发现这东西有三维限制,我们先 $\text{for}$ $i$,这一维,然后利用二维树状数组进行计算

时间复杂度 $\mathcal{O}(nk\log n\log k)$

P2467 [SDOI2010]地精部落 (滚动数组+前缀和)

题目

给 $1$ 到 $n$ 进行排列，排列后对于任意一个数，两边的数都比它大，或都比它小(波动序列)。求方案数

$n\le 5000$

题解

这种排列的题都可以往求错排数的方向上想一想

设 $f[i][j][0/1]$ 表示长度为 $i$ 的排列结尾是 $j$ 且 $j$ 是山峰/山谷的方案数

考虑转移,末尾可以再填一个 $1\sim i+1$ 之间的数,假设我们填的这个数是 $j$,那么有转移

$$\begin{gathered} f[i][j][0]=\sum _{k=1}^{j-1}f[i-1][k][1] \\ f[i][j][1]=\sum _{k=j+1}^{i}f[i-1][k][0] \end{gathered}$$

滚动数组滚掉第一位维,前缀和优化第二维即可

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$

ybtoj 金牌导航 最大连续和 (单调队列)

题目

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ,要求从中找到一段连续的长度不超过 $m$ 的子序列,使得这个序列的和最大, $a$ 可以为负

$n,m\le 2\times {10}^6$

题解

设 $f[i]$ 表示以 $a[i]$ 结尾长度不超过 $m$ 的最大子序列和,那么有转移

$$f[i]=\underset{1\le k\le m}{max}\{\sum _{j=i-k+1}^i{a}_j\}$$

首先使用前缀和优化掉求和,我们把前缀和存在 $\text{pre}$ 数组中,那么转移式变为

$$f[i]=\text{pre}[i]-\underset{1\le k\le m}{min}\{\text{pre}[i-k]\}$$

那么后面的那个 $min$ 就变成了滑动窗口的形式,单调队列优化即可

时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$

ybtoj 金牌导航 修剪草坪 (单调队列)

题目

有一个长度为 $N$ 的数列,我们现在要从序列中选取一些数,但是不能连续取超过 $K$ 个数,问选取的数字之和最大是多少

$1\le N\le 1\times {10}^5$

题解

设 $f[i][0/1]$ 表示考虑到第 $i$ 个数,当前数不选/选时的最大和,转移方程如下

$$\{\begin{array}{l}f[i][1]=\underset{i-k\le j\le i-1}{max}\{f[j][0]+\text{pre}[i]-pre[j]\}\\ f[i][0]=max\{f[i-1][0],f[i-1][1]\}\end{array}$$

单调队列优化即可

时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$

ybtoj 金牌导航 旅行问题 (单调队列建模)

题目

John 打算驾驶一辆汽车周游一个环形公路。公路上总共有 $n$ 车站，每站都有若干升汽油（有的站可能油量为零），每升油可以让汽车行驶一千米。John 必须从某个车站出发，一直按顺时针（或逆时针）方向走遍所有的车站，并回到起点。在一开始的时候，汽车内油量为零，John 每到一个车站就把该站所有的油都带上（起点站亦是如此），行驶过程中不能出现没有油的情况。

判断以每个车站为起点能否按条件成功周游一周。

$3\le n\le {10}^6$

题解

先破环成链,链的长度为 $2n$ 然后考虑顺时针的情况

对汽车油量和距离分别做前缀和 $s_1,s_2$，如果从第 $i$ 个点出发可以回到起点，就意味着在 $[i,i+n-1]$ 的区间内，满足所有油量与距离之差的前缀和都大于等于 $0$，即满足

$$(s_1[j]-s_1[i-1])-(s_2[j]-s_2[i-1])⩾0(j\in [i,i+n-1])$$

这个东西是很难维护的,所以我们可以尝试对汽车油量与距离之差做前缀和，记为 $s$。

算出 $s$ 数组后，我们就可以求区间最小值减去 $s[i-1]$ 与 $0$ 作比较,问题转化成了滑动窗口

逆时针同理,时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$

单调队列优化多重背包 (单调队列建模)

题目

我们现在有 $n$ 个物品,第 $i$ 物品有三个属性:个数 $s_i$ 重量 $v_i$ 和价值 $w_i$ 现在求出在背包容量是 $k$ 的情况可以收获的最大价值

$n\le {10}^7$

题解

通过01背包的状态,我们很容易写出这个问题一般的转移方程

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v]+w,dp[i-1][j-2*v]+2*w,.....,dp[i-1][j-s*v]+s*w)

滚动数组优化下变成

dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w,dp[j-2*v]+2*w,.....,dp[j-s*v]+s*w)

由此我们发现 $j$ 只与与 $v$ 同余的位置有关,因此我们可以将同余的视作一组,那么这样一共有 $k$ 组,这样我们的转移方程就可以写成下面这样

dp[j]=dp[j]
dp[j+v]=max(dp[j]+w,dp[j+v])
dp[j+2v]=max(dp[j]+2w,dp[j+v]+w,dp[j+2v])
dp[j+3v]=max(dp[j]+3w,dp[j+v]+2w,dp[j+2v]+w,dp[j+3v])
.....

对它进行一个变形

dp[j]=dp[j]
dp[j+v]=max(dp[j],dp[j+v]-w)+w
dp[j+2v]=max(dp[j],dp[j+v]-w,dp[j+2v]-2w)+2w
dp[j+3v]=max(dp[j],dp[j+v]-w,dp[j+2v]-2w,dp[j+3v]-3w)+3w
......

这样变形的意义在于,我们将原先不规则的、难以维护的东西转换成了规则的,好维护的东西。换句话说,我们要知道 $j+k\times v$ 的答案,我们只需要把 $\text{dp}[j+k\times v]-k\times w$ 和前 $k-1$ 个相同格式的东西进行比较,这样我们就可以使用单调队列来维护最大值了

时间复杂度 $\mathcal{O}(nk)$

P2254 [NOI2005] 瑰丽华尔兹

题目

给定一个 $n\times m$ 大小的矩阵,起点是 $(x,y)$ 。给你 $k$ 段时间,对于第 $i$ 段时间 $[s_i,t_i]$ ,在该时间中你可以以 $1\text{单位}/s$ 的速度在 $d_i$ 方向上运动,不能走到障碍物上,问能够运动的最远距离是多少

$n,m\le 200,k\le 200$

题解

设 $f[i][x][y]$ 表示考虑到第 $i$ 段时间,结束后走到 $x,y$ 这个格子的最远距离

直接暴力转移的复杂度是 $\mathcal{O}(knm(n+m))$ 的,我们无法接受

思考一下这个东西是怎么转移的,我们发现这个转移是关于最值的,而且只关系到某一行/列,是线性的,这时候就不妨向单调队列的方向想一想

注意到对于当前时间段 $i$ ,假设它的长度是 $\text{len}$ ,那么能够转移到点 $(x,y)$ 上的状态实际就处在一个长度为 $\text{len}$ 的窗口中

所以我们就可以使用单调队列优化干掉一维,时间复杂度 $\mathcal{O}(knm)$

P2216 [HAOI2007]理想的正方形

题目

有一个 $a\times b$ 的整数组成的矩阵，现请你从中找出一个 $n\times n$ 的正方形区域，使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。

$2\le a,b\le 1000,n\le a,n\le b,n\le 100$。

题解

利用单调队列,将原来 $a\times b$ 的矩阵中的数,先将行上的最大值最小值按照 $n$ 个一组压到一个 $(a-n+1)\times b$ 的矩阵中,然后在将压完后的矩阵中的数再拿出来,按列压到一个 $(a-n+1)\times (b-n+1)$ 的矩阵中

时间复杂度 $\mathcal{O}(ab)$

P2569 [SCOI2010]股票交易 (单调队列建模)

题目

你初始时有无限的钱，并且每天持有的股票不超过 $\text{Maxp}$ 。 有 $T$ 天，你知道每一天的买入价格（ $AP[i]$ ），卖出价格（ $Bp[i]$ ）， 买入数量限制（ $AS[i]$ ），卖出数量限制（ $BS[i]$ ）。 并且两次交易之间必须间隔 $W$ 天。 现在问你 $T$ 天结束后，最大收益是多少

$1\le B{P}_i\le A{P}_i\le 1000,1\le A{S}_i,B{S}_i\le \text{MaxP},T\le 2000,\text{MaxP}\le 2000$

题解

设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 天之后，剩下 $j$ 股股票的最大收益

状态转移方程如下

买入：

$$f[i][j]=\underset{j-as[i]\le k\le j}{max}(f[i-w-1][k]-(j-k)\times ap[i])$$

卖出：

$$f[i][j]=\underset{j\le k\le j+bs[i]}{max}(f[i-w-1][k]+(k-j)\times bp[i])$$

复杂度是 $\mathcal{O}(T{\text{Maxp}}^2)$ ,无法通过本题,考虑优化

同样的套路,将具有相同变量的东西放在一起

$$f[i-w-1][k]+(k-j)\times bp[i]=(f[i-w-1][k]+k\times bp[i])-j\times bp[i]$$

我们将 $j\times bp[i]$ 提到括号外边去,内部就变成了一个滑动窗口,直接单调队列优化即可

时间复杂度 $\mathcal{O}(T\text{Maxp})$