期望dp

期望的线性性

即$E(x+y)=E(x)+E(y)$

期望的其它性质($C$是常数)

$$\begin{gathered} E(C)=c \\ E(Cx)=CE(x) \\ \text{当X与Y互相独立},E(xy)=E(x)E(y) \end{gathered}$$

路径长度 （倒推与期望的线性性）

题目

给定一个起点为$1$,终点为$n$的$DAG$,每个点走向与他相连的点的概率是相等的，求从$1$到$n$的路径的期望总长度

题解

1. 方法$1$：倒序$dp$，适用于终点唯一的情况

   我们设$f[i]$表示从$i$到终点$n$的方案数，根据拓扑序的逆序转移，转移方程为

$$f[u]=\sum _{v\in \text{connect}(u)}\frac{f[v]+w}{\mathrm{deg}v}$$

2. 方法$2$：利用期望的线性性计算，设 $f[i]$ 表示点 $i$ 期望被经过的次数，我们只需要计算每一条边被计算的次数即可，如果点 $u$ 期望被经过的次数为 $f[u]$ ，那么边 $(u,v,w)$ 期望被经过的次数就为 $\frac{f[u]}{\mathrm{deg}u}$ ,对答案的贡献就乘上 $w$ 加起来就行了。

   那么我们如何计算$f[u]$呢？显然$f[1]=1$，接下来我们按拓扑序进行转移$f[v]\leftarrow \frac{f[u]}{\mathrm{deg}u}$即可

乘坐电梯 （利用期望的定义求解）

题目

有$n$个人排成一列，每秒中队伍最前面的人有$p$的概率走上电梯（一旦走上就不会下电梯），或者有$1-p$的概率不动。问你$T$秒过后，在电梯上的人的期望。

$1\le n,\hspace{0.17em}t\le 2000,0\le p\le 1$

题解

我们设$f[i][j]$表示第$i$个时刻电梯上有$j$个人的期望

1. 方法$1$,我们的结束状态并不一定，因此是没有办法使用上一道题的方法$1$的
2. 方法$2$,我们将状态之间的转移抽象成边，只有 $f[i][j]\to f[i+1][j+1]$ 的转移对答案有$1$的贡献,然后具体转移与上一道题是同理的
3. 方法$3$,直接利用期望的定义进行 $dp$ 。我们直接将上面状态的期望改为概率，那么就有转移 $f[i+1][j+1]\leftarrow f[i][j]\times p,f[i+1][j]\leftarrow f[i][j]\times (1-p)$ ，答案就是 $\sum _{0\le k\le n}f[T][k]\times k$ ,也就是定义法 $E(x)=P(x)\ast x$

NOIP四校联测 Day1 T1 （多数组优化转移）

题目

给定一个整数 $n$ ,表示开始时手上的数,初始黑板上的数为 $1$

现在进行若干次操作,假设当前手上的数为 $m$ 每次选择一个 $i\in [1,m]$ ,让黑板上的数字乘 $k$ 的同时,让手上的数变为 $m-i$ ,当这个数变为 $0$ 的时候停止操作

求出黑板上的数的最大值和期望大小

$n\le 5\times {10}^5$

题解

首先这道题不能当成一个整数划分来做,因为每种情况并不是等概率(笔者赛时 $\text{SB}$ 愣是算了 $1$ 个小时都没算对样例)

对于第一问,根据打表,通过观察,如果一个数 $\le 4$ ,我们将它分成若干个 $2$ 和 $3$ 的乘积,结果一定不会变劣。再考虑每有 $3$ 个 $2$ ,我们就可以把它换成 $2$ 个 $3$ ,一定会变优。因此这一问就根据模 $3$ 的余数分一下类就行了

对于第二问,设 $f[i]$ 表示手上的数是 $i$ 时,黑板上的数的期望。转移就是

$$f[i]=\frac{1}{i}\sum _{k=1}^{i}f[i-k]\times k$$

为了优化这个转移,我们可以设 $g[i]=\sum _{k=1}^{i}f[k]$ ,设 $h[i]=\sum _{k=1}^{i}f[k]\times (i-k+1)$

于是有

$$\begin{gathered} f[i]=\frac{1}{i}\times h[i-1] \\ h[i]=h[i-1]+g[i] \end{gathered}$$

时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$

期望收益 （拆分计算非线性期望）

题目

给定一个长为$n$的序列，一些位置没有被确定（是o,x的几率各占$50\mathrm{\%}$）。对于一个ox序列，连续 $a$ 长度的o会带来$a^2$的收益，问最终序列的期望收益是多少

$n\le {10}^6$

题解

一种朴素的解法是,设 $f[i][j]$ 表示考虑到第 $i$ 位,连续o的长度是 $j$ 时的期望收益

当前位是o或x的转移是简单的,当它是?时,转移如下

$$\{\begin{array}{l}f[i][j]\leftarrow 0.5\times (f[i-1][j-1]+1)\\ f[i][0]\leftarrow \sum _{k}f[i-1][k]\end{array}$$

但是这种方法太劣了,考虑优化。我们知道到 $(x+1{)}^2-x^2=2x+1$ ,所以设 $f[i]$ 表示考虑到第 $i$ 位的期望贡献，$l[i]$ 表示以$i$结尾的极大连续o的期望长度,转移如下

$$\{\begin{array}{l}f[i]=f[i-1]+l[i-1]\times 2+1,l[i]=l[i-1]+1(o)\\ f[i]=f[i-1],l[i]=0(x)\\ f[i]=f[i-1]+\frac{l[i-1]\times 2+1}{2},l[i]=\frac{l[i-1]+1}{2}(?)\end{array}$$

时间复杂度$\mathcal{O}(n)$

P1654 OSU! （拆分计算非线性期望）

题目

对于每一个序列，每个位置为 $o$ 的概率为 $p_i$ ,为 $x$ 的概率为$1-p_i$ ,对于一个 $ox$ 序列，连续$a$长度的$o$ 会得到 $a^3$ 的收益，问最终得到$ox$序列的期望收益是多少？

题解

同上一题的思路，我们仍然考虑每一个位置的贡献。根据$(x+1{)}^3-x^3=3x^2+3x+1$,所以我们维护$l_1[i]$为最大连续$o$期望长度,$l_2[i]$为长度的平方。

线性转移即可

[HNOI2013]游走 （高斯消元求解图上带环dp）

题目

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图，顶点从 $1$ 编号到 $n$，边从 $1$ 编号到 $m$。

小 Z 在该图上进行随机游走，初始时小 Z 在 $1$ 号顶点，每一步小 Z 以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小 Z 到达 $n$ 号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 现在，请你对这 $m$ 条边进行编号，使得小 Z 获得的总分的期望值最小

题解

我们考虑一个贪心，期望经过次数最多的边我们给它标最小的号，于是问题就变成了求解从$1$号点出发，期望经过每个边的次数，我们设 $f[i]$ 表示，到点$i$的期望次数，考虑写出转移方程

$$f[u]=\{\begin{array}{l}\sum _{v\in \text{connect}(u)}\frac{f[v]}{\mathrm{deg}v}+1(u=1)\\ \sum _{v\in \text{connect}(u)}\frac{f[v]}{\mathrm{deg}v}(2\le u\le n)\end{array}$$

由于转移关系会成环，我们无法直接进行递推求解，所以接下来，我们对$f[i]$进行高斯消元，解出后，我们类比上文的方法$2$，对于一条边$u,v$，它的期望经过次数为

$$\frac{f[u]}{\mathrm{deg}u}+\frac{f[v]}{\mathrm{deg}v}$$

时间复杂度$\mathcal{O}(n^3)$

BZOJ 2201 彩色圆环 (期望的线性性+一类环上dp)

题目

给你一个长度为 $n$ 的圆环,用 $m$ 种颜色染色,求同色颜色段长度乘积的期望

$n\le 200,m\le 1\times {10}^9$

题解

如果没有环,那么直接设 $f[i]$ 表示考虑到长度为 $i$ 的段时的期望值,由于环的存在,我们需要额外讨论环的首尾,所以更改状态为 $f[i][0/1]$ 表示考虑到长度为 $i$ 的段,当前点与环首尾颜色不同/相同时的期望值,设 $p[x]$ 表示连续 $x$ 相同颜色的概率,那么很容易写出如下转移

$$\{\begin{array}{l}f[i][0]\leftarrow f[j][0]\times p[i-j]\times (i-j)\times \frac{m-2}{m}\\ f[i][0]\leftarrow f[j][1]\times p[i-j]\times (i-j)\times \frac{m-1}{m}\\ f[i][1]\leftarrow f[j][0]\times p[i-j]\times (i-j)\times \frac{1}{m}\end{array}$$

最后计算答案时,讨论首尾相接段同色的长度,那么就有下面的式子

$$ans=\sum _{i=0}^{n-1}f[i][0]\times (n-i)\times (n-i)\times p[n-i]$$

两个 $n-i$ 分别表示位置和贡献

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$

Ybtoj 金牌导航 关灯游戏 (期望dp+换元去环)

题意

有一个长度为 $n$ 的 01 串。对位置 $x$ 操作会使所有编号为 $x$ 的约数的位置异或上1。我们采取如下策略来让所有的位置变成0:

先随机操作若干次，当当前局面可以在 $k$ 次操作以内归零时就使用最优策略

求期望操作次数

$1\le n\le {10}^5,1\le k\le n$

题解

这道题太妙了

最优策略是显然的,因为一个数改变只会影响它的约数,所以从大到小枚举约数即可

一开始的想法是,设 $f[i]$ 表示从当前局面到归零的操作次数是 $i$ 时的期望操作次数,转移可以写成下面这样

$$f[i]=(f[i-1]+1)\times \frac{i}{n}+(f[i+1]+1)\times \frac{n-i}{i}$$

直接高斯消元......然后复杂度就爆炸了

然后我们发现问题的关键在于这个dp的过程是成环的,但同时这个转移式中包含的未知数不算多,所以我们在这里考虑换元,设 $g[i]=f[i]-f[i-1]$ (又是差分大法),那么原式可以写成

$$f[i]=(f[i]-g[i]+1)\times \frac{i}{n}+(f[i]+g[i+1]+1)\times \frac{n-i}{n}$$

左右两式 $f[i]$ 可以消去,得到 $g[i]$ 的递推式如下

$$g[i]=\frac{(n-i)\times g[i+1]+n}{i}$$

假设从初始状态归零的最少操作次数为 $m$ 然后利用 $g$ 推出 $f[m]$,按照题目要求处理一下即可

时间复杂度 $\mathcal{O}(n\sqrt{n})$

代码源省选班 最长不下降序列 (交换答案与状态)

题目

求一个长度为 $n$ 的随机0/1序列的最长不下降序列的长度期望

$n\le 200$

题解

这个题的状态在赛时想了好久 (太菜了)

难点在于，当 $0$ 的数量足够多时会使得当前以 $1$ 结尾的最长不下降子序列发生改变，因此我们要把它记在状态里

设 $f[i][j][k]$ 表示考虑到第 $i$ 位，目前有 $j$ 个 $0$ ，当前最长不下降子序列长度为 $k$ 时的概率

转移如下

$$f[i][j][k]\to \{\begin{array}{l}f[i+1][j+1][max(k,j+1)](\text{选择}0)\\ f[i+1][j][k+1](\text{选择}1)\end{array}$$

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$