区间dp

P1880 [NOI1995] 石子合并（破环成链+石子合并类套路）

题目

在一个圆形操场的四周摆放 $N$ 堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆，规定每次只能选相邻的 $2$ 堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 $N$ 堆石子合并成 $1$ 堆的最小得分和最大得分。

$1\le N\le 100$，$0\le a_i\le 20$。

题解

环形的序列,那么断开环,倍长序列去做

设 $f[l][r]$ 表示合并区间 $[l,r]$ 中的所有石子所能带来的最大收益,$sum[l][r]$ 表示 $[l,r]$ 中石子个数的和,转移方程如下

$$f[l][r]=\underset{l\le k\le r}{max}\{f[l][k]+f[k+1][r]+sum[l][r]\}$$

时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^3)$,可以使用四边形不等式优化到 $\mathcal{O}(n^2)$ ,但这不是提高组的考察范围

HDU 4283 You Are the One （栈的性质+石子合并类套路）

题目

有一个长为 $N(N\le 100)$ 的队列，第 $i$ 个人有一个愤怒值 $D_i$，如果他是第 $K$ 个上场，不开心指数就为 $(K-1)\cdot D$。但是边上有一个小黑屋（后进先出，当成个堆栈），可以一定程度上调整上场顺序，使不开心指数最小

题解

考虑栈的性质,第 $i$ 个元素入栈，如果它最终的位置是在 $k$，那么 $i$ 到 $k$ 这一段中不可能有 $k$ 位置后的数出现。因此把问题 $[l,r]$ 分为子问题 $[l+1,k]$,$[k+1,r]$,直接转移即可

时间复杂度 $\mathcal{O}(N^3)$

P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏 （取两端套路）

题目

题解

首先一轮一轮的考虑是困难的,所以我们一行一行的考虑

这样原问题可以转化对每一行确定选数的顺序

那么就可以通过区间dp转移了,假设要选完 $[l,r]$ 中的数,由于每次只能取两边的数,那么就从 $[l,r-1]\times 2$ 或者 $[l+1,r]\times 2$ 转移而来

时间复杂度 $\mathcal{O}(m{n}^2)$

P3205 [HNOI2010]合唱队 （取两端套路+增加维数）

题目

题解

考虑对理想队形进行区间dp,假设此时考虑排成区间 $[i,j]$ 队形的方案数,但是如果采取普通的 $f[i][j]$ 的二维dp考虑,我们发现我们无法转移

原因是我们dp的状态中缺少上一次的值放在了那里这一个信息,所以将状态修改为 $f[i][j][0/1]$ 表示排成区间 $[i,j]$ 中的队形且第 $i$ 个人在左端/第 $j$ 个人在右端时的方案数

转移如下

if(a[i]<a[i+1])f[i][j][0]+=f[i+1][j][0];
if(a[i]<a[j])f[i][j][0]+=f[i+1][j][1];
if(a[j]>a[i])f[i][j][1]+=f[i][j-1][0];
if(a[j]>a[j-1])f[i][j][1]+=f[i][j-1][1];

初始状态注意把所有的数都当成从左边进来的,不然会算重,时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$

P1220 关路灯 （提前计算贡献）

题目

题解

首先考虑如果经过一个灯而不关掉它显然是不优的,所以每次关掉的灯一定是一段连续的区间

于是设 $f[i][j][0/1]$ 表示关掉了区间 $[i,j]$ 中所有的灯之后,身处最左端/右端时的所有的灯总的功耗和

那么就有转移

f[l][r][0]=min(f[l+1][r][0]+(p[l+1]-p[l])*(pre[l]+pre[n]-pre[r]),f[l+1][r][1]+(p[r]-p[l])*(pre[l]+pre[n]-pre[r]));
f[l][r][1]=min(f[l][r-1][1]+(p[r]-p[r-1])*(pre[l-1]+pre[n]-pre[r-1]),f[l][r-1][0]+(p[r]-p[l])*(pre[l-1]+pre[n]-pre[r-1]));

其实这本质是个贪心, $\text{dfs}$ 也是可以做的

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$

P4170 [CQOI2007]涂色 （涂色类套路）

题目

给定一个长度为 $n(n\le 500)$ 的木板,初始没有颜色。

我们现在要在上面涂色,每次涂色必须涂连续的一段区间且可以覆盖之前涂过的颜色

问使初始木板变成目标颜色的最小操作次数

题解

设 $f[i][j]$ 表示将区间 $[i,j]$ 中的位置变成目标颜色的方案数

那么考虑分类讨论

• 若 $i=j$,则有 $f[i][j]=1$

• 若 $\text{col}[i]=textcol[j]$ ,那么我们直接在端点处染色即可

• 若 $\text{col}[i]\ne \text{col}[j]$ ,那么我们就枚举一个分界点,左右两边涂不同的颜色

状态转移如下

if(l==r) f[l][r]=1
else if(s[l]==s[r]) f[l][r]=min(f[l+1][r],f[l][r-1]);
else if(s[l]!=s[r]) for(int k=l;k<r;k++) f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]);

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$

HDU 2476 String painter （分步涂色）

题目

给定两个初始串 $\text{a},\text{b}$ ,求将 $\text{a}$ 区间染色成 $\text{b}$ 的最小步数

$|a|=|b|\le 500$

题解

首先一个朴素的思路是直接设 $f[i][j]$ 表示将 $\text{a}$ 中的 $[l,r]$ 染成 $\text{b}$ 的最小步数

但是你要分十万种情况讨论,理论可行,但不可做

所以我们考虑这样一个过程,我们可以先计算从无色串到 $\text{b}$ 的最小步数,这就是“Luogu P4170 [CQOI2007]涂色”,然后我们对 $\text{a}$ 进行一个dp求出它那些位置需要染色,假设我们求出无色串染色区间 $[l,r]$ 染成 $\text{b}$ 的最小次数为 $f[l][r]$

考虑如何对 $a$ 序列进行dp,设 $g[i]$ 表示考虑将 $\text{a}$ 的前 $i$ 位染色至 $\text{b}$ 的最小的方案数,考虑如何进行转移,假设当前考虑到第 $i$ 位

• 如果 $\text{a}[i]=\text{b}[i]$ ,那么 $g[i]=g[i-1]$ 无需染色
• 如果 $\text{a}[i]\ne \text{b}[i]$ ,那么我们枚举染色的分界点 $j$,转移方程为

$$g[i]=\underset{1\le j\le i-1}{min}g[j]+f[j+1][i]$$

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$

P7914 [CSP-S 2021] 括号序列（通过增维实现对不同情况的分类讨论）

题目

题解

首先,朴素的思路是设 $f[i][j]$ 表示区间 $[l,r]$ 中合法的超级括号序列的数量,但是我们注意到题目中有“连续的 $\ast$ 不超过 $k$ 个”这一个条件,所以我们记录的这个状态记录的信息不够,所以考虑增维

设 $f[i][j][p],p\in [0,5]$ , $\text{A}$ 表示左右两边都是括号且这两个括号不匹配的串,其中

• $p=0$ 表示全是 $\ast$ 的情况
• $p=1$ 表示 $(\text{A})$ 的情况
• $p=2$ 表示 $\text{AS}$ 的情况
• $p=3$ 表示 $\text{A}$ 的情况,注意该状态包含 $p=1$ 的状态
• $p=4$ 表示 $\text{SA}$ 的情况
• $p=5$ 表示 $\text{SAS}$ 的情况,注意该状态包含 $p=0$ 的状态

下面我们来考虑转移,思路就是在已有的 $2,3,4,5$ 后边接上 $0,1$ 这两个基本单位来转移

• $p=0$ 时,对 $\text{len}$ 进行一个特判即可
• $p=1$ 时,如果当前区间 $[l,r]$ 的左右端点不匹配则为 $0$ ,否则注意一下转移时不能有 $(SAS)$ 的情况,于是转移为

$$f[l][r][1]=f[l+1][r-1][0]+f[l+1][r-1][2]+f[l+1][r-1][3]+f[l+1][r-1][4];$$

• $p=2$ 时,我们就是要拿 $\text{A}$ 拼上 $\text{S}$ ,这里不拿 $\text{AS}$ 拼 $\text{S}$ 是为了满足长度不超过 $k$ 的方案数,于是转移如下

$$f[l][r][2]=\sum _{i=l}^{r-1}f[l][i][3]\times f[i+1][r][0]$$

• $p=3$ 时,我们可以通过 $\text{AS}$ 拼上 $\text{(A)}$ 或者 $\text{A}$ 拼上 $\text{(A)}$ ,注意加上 $p=1$ 的情况

$$f[l][r][3]=\sum _{i=1}^{r-1}(f[l][i][2]+f[l][i][3])\times f[i+1][r][1]+f[l][r][1]$$

• $p=4$ 时,我们就是要找开头为 $\ast$ 的即 $\text{SA},\text{SAS}$ 的后面拼接 $(A)$

$$f[l][r][4]=\sum _{i=1}^{r-1}(f[l][i][4]+f[l][i][5])\times f[i+1][r][1]$$

• $p=5$ 时,我们就是要找开头为 $\ast$ 的即 $\text{SA}$ 的后面拼接 $S$ ,另外别忘了还有 $\text{S}$

$$f[l][r][5]=\sum _{i=1}^{r-1}f[l][i][4]\times f[i+1][r][0]+f[l][r][0]$$

答案必须为首尾都是括号序列.所以就为 $f[1][n][3]$

这样dp的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^3)$