群论

群论基础

群的定义

定义：
设\(G\)是非空集合,\(\cdot\)是\(G\)上的二元运算， 若代数系统\((G,\cdot)\)满足：

1. 结合律，即对任意的\(a,b,c∈G\), \((ab)c=a(bc)\)
2. 存在单位元，即对任意的\(a\in G\), \(ae=ea=a\)
3. \(G\)中的元素都是可逆元，即对任意\(a\in G\), 都存在\(a^{-1}\in G\),使得 \(aa^{-1}=a^{-1}a=e\)

则称代数系统\((G,\cdot )\)是一个群。

交换群

定义

若群\(G\)的二元运算满足交换律，即对任意的\(a,b\in G\)都有\(ab=ba\),则称\(G\)是交换群，或\(Abel\)群

群的性质

1. 单位元唯一
2. 每个元素逆元唯一
3. \(a^ma^n=a^{m+n},(a^m)^n=a^{mn}\)

群的阶

定义

设\(a\)是\(G\)的一个元素，若有正整数 \(k\) 存在且\(a^k=e\), 则满足该条件的最小正整数\(k\)称为元素的阶，记为\(O<a>\), 并称\(a\)是有限阶元素。

性质

\(a\)是\(r\)阶元素

1. \(a^k=e 当且仅当 r|k\)
2. \(O<a> =O <a^{-1}>\)
3. \(r \le |G|\)

子群

定义

设\(H\)是\(G\)的一个非空子集，若\(H\)对\(G\)的运算仍然构成群，则称\(H\)是\(G\)的子群，记作\(H\le G\)

判定

\(H\le G\)的充要条件：

1. \(\forall a,b\in H,ab\in H\)
2. 单位元\(e'=e\)
3. \(\forall a\in H,a^{-1}\in H\),且\(a^{-1}\)是\(a\)在\(G\)中的逆元

换句话说

\[\forall a,b\in H,ab^{-1}\in H \]

性质

一个群两个子群的交还是这个群的子群

更形式化的\(H_1\le G,H_2\le G则H_1\cap H_2\le G\)

证明:

由于\(H_1,H_2\)是\(G\)的子群，所以有\(\exist a,b\in H_1,H_2,s.t. ab^{-1}\in H_1,H_2\),即\(ab^{-1}\in H_1\cap H_2\)

循环群和生成元

设\(a\)是群\(G\)中的任一元素，则
\(<a>={a^k|k\in Z}\)是\(G\)的子群。
称为由\(a\)生成的子群，\(a\)称为生成元。

若一个群\(G\)的每一个元都是\(G\)的某一个固定元\(a\)的乘方，则称\(G\)为循环群

设\(|G|=n\),那么它生成元的个数就为\(\varphi(n)\)

生成元的阶与原循环群的阶是相等的

感性理解:

可以作为单位元的\(a^k\)都有\(\gcd(k,n)=1\),如果\(\gcd(k,n)\neq 1\),那么，那说明最小循环节是\(\gcd(k,n)\)而非\(n\),这与阶的最小性矛盾，故单位元的个数为\(\varphi(n)\)

同构

\((G,⋅)\)和\((G',∗)\)是两个群，\(f:G\rightarrow G'\)是双射，如果对于任意\(a,b\in G\)
\(f(ab)=f(a)∗f(b)\)
那么则称\(f\)是\(G\)到\(G'\)的一个同构，\(G\cong G'\)

任意两个同阶的循环群同构

置换群

有限集合\(A= \lbrace 1,2,…,n\rbrace\)的一个一一变换称为一个\(n\)元置换，由置换构成的群叫置换群。

由\(n!\)个\(n\)元置换构成的群记作\(S_n\)

轮换与对换

轮换就是一个环的置换，对换就是两者交换

轮换转对换

任何置换可以表为不相交轮换的乘积

任何轮换可以表为对换的乘积

\[(i_1 i_2 \cdots i_l)=(i_2 i_3)(i_3 i_4)\cdots(i_l−1,i_l)(i_1 i_l)\\ (i_1 i_2 \cdots i_l)=(i_1 i_l)(i_1 i_l−1)\cdots (i_1,i_3)(i_1 i_2) \]

我们设

\[\sigma=\sigma_1\sigma_2\sigma_3\cdots \sigma_k \]

其中\(\sigma_i\)是一个对换

设轮换\(i\)的长度为\(l_i\)，转对换后的对换个数为\(N(\sigma)=\sum_{i}(l_i-1)\)

如果\(N(\sigma)\)为奇数则称这是一个奇置换，否则是偶置换

并且它有一个显然的性质

\[N(σ_1σ_2)≡N(σ_1)+N(σ_2)(mod 2)\]

陪集

定义

设\(H\le G\), 对任意\(a\in G\),集合 \(aH=\lbrace ah\mid h\in H\rbrace\)
称为子群\(H\)在\(G\)中的一个左陪集
同理，\(H\)也存在一个右陪集

性质

• \(\forall a\in G,|H|=|Ha|\)。

证明：如果\(h_1\neq h_2\in H\)，那么 \(h_1a \neq h_2a\)。对于不同的 \(h\)，\(ha\) 互不相同，因此\(|H|=|Ha|\)。

• \(\forall a\in G,a\in Ha\)。

证明：因为 \(H\) 是群，所以 \(e\in H\)，所以 \(ea\in Ha\) 即 \(a\in Ha\)。

• \(Ha=H \Leftrightarrow a\in H\)

证明：从左推到右，因为 \(a\in Ha=H\)。从右推到左，由群的封闭性 \(Ha \le H\)，而 \(|H|=|Ha|\)，所以 \(Ha=H\)。

• \(Ha=Hb \Leftrightarrow ab^{-1}\in H\)。
  注意这个性质的右边也可以写成 \(a\in Hb，b\in Ha，a^{-1}b\in H\)。

证明：从左推到右，\(a\in Ha\Rightarrow a\in Hb\Rightarrow ab^{-1}\in H\)。从右推到左，\(Hba^{-1}=H\)，故\(Ha=Hb\)。

• \(Ha\cap Hb \neq \varnothing \Rightarrow Ha=Hb\)。
  这句话的意思是 \(H\) 的任意两个陪集要么相等，要么没有交集。

证明：考虑 \(c\in Ha\cap Hb\)，那么 \(\exists h_1,h_2\in H,h_1a=h_2b=c\)，那么 \(ab^{-1}=h_1^{-1}h_2\in H\)，故 \(Ha=Hb\)。

拉格朗日定理

群\(G\)关于其子群\(H\)的左(右)陪集的个数，称为\(H\)在\(G\)中的指数，记作\([G:H]\)

拉格朗日定理的内容就是

\[[G]=[H][G:H] \]

人话：所有\(G\)的子群的指数都是\(G\)阶的因数

(感性)证明

由于\(G\)的子群\(H\)中一定含有幺元\(e\),那么只要穷极所有\(x\in G\)构造它的左陪集\(xH\)，那么所有\(xH\)的并集一定是\(G\),而根据\(H\) 的任意两个陪集要么相等，要么没有交集，\(H\)的任意陪集又与\(H\)是同构关系，即\(H\)的陪集的阶\(H\)的阶均相等，所以很显然，群的阶就等于陪集的阶乘上陪集的个数

商群

设\(G_x\)是\(G\)的子群，那么\(G\)关于\(G_x\)所有陪集组成的集合称为\(G\)关于\(G_x\)的商集，记作\(G/G_x\)

轨道稳定子定理

轨道

就是一个点通过置换群\(G\)所能走到的所有的点组成的集合

稳定子

一个点经过\(G\)的某些置换不会改变位置，所有这样的置换称为稳定子

不动点

一个状态\(a\),经过某一个置换\(g\)没有改变，那么我们称\(a\)是置换\(g\)下的一个不动点

轨道稳定子定理

我们设置换群是\(G\),\(G_x\)称为\(x\)的稳定子,\(G(x)\)是\(x\)的轨道，那么

\[|G|=|G_x||G(x)| \]

人话就是，\(x\)所在轨道的大小乘\(x\)所在稳定子集合的大小就是群的阶

证明

首先证明，\(G_k\)是\(G\)的子群,\(G_k\)的为\(G_k=\lbrace g|g(x)=x\rbrace,G(x)=\lbrace g(x)\mid g\in G\rbrace\)

• 封闭性：若 \(f,g\in G\) ，则 \((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x)=x\) ，所以 \(f\circ g\in G_x\)。
• 结合律：显然置换的乘法满足结合律。
• 单位元：因为\(I(x)=x\)，所以\(I\in G_x\) \(I\) 为恒等置换。
• 逆元：若 \(g\in G_x\) ，则 \(g^{-1}(x)=g^{-1}(g(x))=(g^{-1}\circ g)(x)=I(x)=x\) ，所以 \(g^{-1}\in G_x\)。

由拉格朗日定理有

\[\mid G\mid=[G:G_k]|G_k| \]

所以我们现在的目标就是要证明\([G:G_k]=|G(x)|\),即我们要证明，\(G_k\)的轨道大小等于由它划分出来的陪集的数量，也就是我们证明二者存在一个双射关系

令两个在轨道上元素是\(a(x),b(x)\)

1. 当\(a(x)=b(x)\)时，两边同乘\(b^{-1}\)有,\(b^{-1}a(x)=I(x)=x\),所以\(b^{-1}a\in G_k\),那么由陪集的性质\(Ha=H \Leftrightarrow a\in H\)，有\(b^{-1}a(x)G_k=G_k\),\(aG_k=bG_k\),所以一个轨道上的点只能对应一个陪集
2. 当\(aG_k=bG_k\),有\(b^{-1}aG_k=G_k\)，同样由上面那个陪集的性质，有\(b^{-1}a\in G_k\),所以有\(b^{-1}a(x)=I(x),a(x)=b(x)\),因此一个陪集只能对应一个轨道上的点

由此，我们证明了轨道与陪集存在一个双射关系，即两者同构，也就证明了\([G:G_k]=|G(x)|\)

所以轨道稳定集定理自然得证

burnside引理和polya定理

问题引入

我们有一个大小为\(n\)的，颜色数为\(m\)的彩色项链，对其进行染色，要求经过旋转相同的方案数为同一种方案

burnside引理

我们上文花了大量的时间来探讨群论，探讨轨道与稳定子，那么我们用置换群来理解上面那个问题

我们设\(X\)表示所有不考虑顺序的染色方案的集合，\(G\)是我们的置换群，对应的就是旋转操作，\(X/G\)表示\(X\)在\(G\)的作用下形成的本质不同的等价类的个数，\(X^g=\lbrace x\mid x\in X,g(x)=x\rbrace\),即在该置换的作用下不动点的个数

定理内容

\[|X/G|=\frac 1{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]

人话：本质不同的等价类个数=不同置换下不动点个数的平均值

证明

\[\begin{aligned} \sum_{g\in G}|X^g|&=\sum_{x\in X}|G_x|~~~(不动点两种统计方法)\\&=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|}X~~~(轨道稳定子定理)\\&=|G|\sum_{x\in X}\frac 1{|G(x)|}~~(下Y指等价类的轨道)\\&=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}\frac{1}{|G(x)|}~~~(等价类找轨道)\\&=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}\frac{1}{|Y|}(同等价类轨道相等)\\&=|G|\sum_{Y\in X/G}|Y|\frac{1}{|Y|}\\&=|G||X/G| \end{aligned} \]

所以

\[|X/G|=\frac 1{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]

\(burnside\)引理得证

polya定理

定理内容

我们设\(c(g)\)表示置换\(g\)中循环置换的个数，若有\(m\)种颜色，那么有\(|X^g|=m^{c(g)}\)

所以我们所要统计的本质不同的方案数就是

\[|X/G|=\frac 1{|G|}\sum_{g\in G}m^{c(g)} \]

考虑这么做的意义，之前我们需要暴力去枚举所有\(m^n\)个\(x\)中的元素，并考察对它们进行置换\(g\)是否会发生改变，这个复杂度显然是我们没有办法接受的，但是\(polya\)定理的式子只要求我们将置换群\(G\)中的每个置换\(g\)，将其分组成一些互不影响的循环

如对于置换

\[\begin{pmatrix} {1}&{2}&{3}&{4}\\{2}&{1}&{4}&{3} \end{pmatrix} \]

我们将其分组\((1,2)(3,4)\),因为\(1,2\)一起换,\(3,4\)一起换，它们不会互相影响，所以我们要数的就是这样的循环的个数，处理单个置换\(g\)复杂度级别就由\(O(m^n)\)降为了\(O(n)\)

证明(感性理解)

还是上面那个例子，考虑置换\((1,2)(3,4)\)，我们思考什么样的状态是不动点，实际上，我们很容易发现，所谓的不动点，就是\(1,2\)位置染的色相同，\(3,4\)位置的颜色相同，那可不\(g\)置换不能改变了