群论

群论基础

群的定义

定义：
设$G$是非空集合,$\cdot$是$G$上的二元运算， 若代数系统$(G,\cdot )$满足：

1. 结合律，即对任意的$a,b,c\in G$, $(ab)c=a(bc)$
2. 存在单位元，即对任意的$a\in G$, $ae=ea=a$
3. $G$中的元素都是可逆元，即对任意$a\in G$, 都存在$a^{-1}\in G$,使得 $a{a}^{-1}=a^{-1}a=e$

则称代数系统$(G,\cdot )$是一个群。

交换群

定义

若群$G$的二元运算满足交换律，即对任意的$a,b\in G$都有$ab=ba$,则称$G$是交换群，或$Abel$群

群的性质

1. 单位元唯一
2. 每个元素逆元唯一
3. $a^m{a}^n=a^{m+n},(a^m{)}^n=a^{mn}$

群的阶

定义

设$a$是$G$的一个元素，若有正整数 $k$ 存在且$a^k=e$, 则满足该条件的最小正整数$k$称为元素的阶，记为$O<a>$, 并称$a$是有限阶元素。

性质

$a$是$r$阶元素

1. $a^k=e\mathrm{当}\mathrm{且}\mathrm{仅}\mathrm{当}r|k$
2. $O<a>=O<a^{-1}>$
3. $r\le |G|$

子群

定义

设$H$是$G$的一个非空子集，若$H$对$G$的运算仍然构成群，则称$H$是$G$的子群，记作$H\le G$

判定

$H\le G$的充要条件：

1. $\mathrm{\forall }a,b\in H,ab\in H$
2. 单位元$e^{\prime }=e$
3. $\mathrm{\forall }a\in H,a^{-1}\in H$,且$a^{-1}$是$a$在$G$中的逆元

换句话说

$$\mathrm{\forall }a,b\in H,a{b}^{-1}\in H$$

性质

一个群两个子群的交还是这个群的子群

更形式化的$H_1\le G,H_2\le G\mathrm{则}{H}_1\cap H_2\le G$

证明:

由于$H_1,H_2$是$G$的子群，所以有$\text{exist}a,b\in H_1,H_2,s.t.a{b}^{-1}\in H_1,H_2$,即$a{b}^{-1}\in H_1\cap H_2$

循环群和生成元

设$a$是群$G$中的任一元素，则
$<a>=a^k|k\in Z$是$G$的子群。
称为由$a$生成的子群，$a$称为生成元。

若一个群$G$的每一个元都是$G$的某一个固定元$a$的乘方，则称$G$为循环群

设$|G|=n$,那么它生成元的个数就为$\phi (n)$

生成元的阶与原循环群的阶是相等的

感性理解:

可以作为单位元的$a^k$都有$gcd(k,n)=1$,如果$gcd(k,n)\ne 1$,那么，那说明最小循环节是$gcd(k,n)$而非$n$,这与阶的最小性矛盾，故单位元的个数为$\phi (n)$

同构

$(G,\cdot )$和$(G^{\prime },\ast )$是两个群，$f:G\to G^{\prime }$是双射，如果对于任意$a,b\in G$
$f(ab)=f(a)\ast f(b)$
那么则称$f$是$G$到$G^{\prime }$的一个同构，$G\cong G^{\prime }$

任意两个同阶的循环群同构

置换群

有限集合$A=\{1,2,\dots ,n\}$的一个一一变换称为一个$n$元置换，由置换构成的群叫置换群。

由$n!$个$n$元置换构成的群记作$S_n$

轮换与对换

轮换就是一个环的置换，对换就是两者交换

轮换转对换

任何置换可以表为不相交轮换的乘积

任何轮换可以表为对换的乘积

$$\begin{gathered} (i_1{i}_2\cdots i_l)=(i_2{i}_3)(i_3{i}_4)\cdots (i_l-1,i_l)(i_1{i}_l) \\ (i_1{i}_2\cdots i_l)=(i_1{i}_l)(i_1{i}_l-1)\cdots (i_1,i_3)(i_1{i}_2) \end{gathered}$$

我们设

$$\sigma ={\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3\cdots {\sigma }_k$$

其中${\sigma }_i$是一个对换

设轮换$i$的长度为$l_i$，转对换后的对换个数为$N(\sigma )=\sum _i(l_i-1)$

如果$N(\sigma )$为奇数则称这是一个奇置换，否则是偶置换

并且它有一个显然的性质

$$N({\sigma }_1{\sigma }_2)\equiv N({\sigma }_1)+N({\sigma }_2)(mod2)$$

陪集

定义

设$H\le G$, 对任意$a\in G$,集合 $aH=\{ah\mid h\in H\}$
称为子群$H$在$G$中的一个左陪集
同理，$H$也存在一个右陪集

性质

• $\mathrm{\forall }a\in G,|H|=|Ha|$。

证明：如果$h_1\ne h_2\in H$，那么 $h_{1}a\ne h_{2}a$。对于不同的 $h$，$ha$ 互不相同，因此$|H|=|Ha|$。

• $\mathrm{\forall }a\in G,a\in Ha$。

证明：因为 $H$ 是群，所以 $e\in H$，所以 $ea\in Ha$ 即 $a\in Ha$。

• $Ha=H\iff a\in H$

证明：从左推到右，因为 $a\in Ha=H$。从右推到左，由群的封闭性 $Ha\le H$，而 $|H|=|Ha|$，所以 $Ha=H$。

• $Ha=Hb\iff a{b}^{-1}\in H$。
  注意这个性质的右边也可以写成 $a\in Hb，b\in Ha，a^{-1}b\in H$。

证明：从左推到右，$a\in Ha\Rightarrow a\in Hb\Rightarrow a{b}^{-1}\in H$。从右推到左，$Hb{a}^{-1}=H$，故$Ha=Hb$。

• $Ha\cap Hb\ne \varnothing \Rightarrow Ha=Hb$。
  这句话的意思是 $H$ 的任意两个陪集要么相等，要么没有交集。

证明：考虑 $c\in Ha\cap Hb$，那么 $\mathrm{\exists }{h}_1,h_2\in H,h_{1}a=h_{2}b=c$，那么 $a{b}^{-1}=h_1^{-1}{h}_2\in H$，故 $Ha=Hb$。

拉格朗日定理

群$G$关于其子群$H$的左(右)陪集的个数，称为$H$在$G$中的指数，记作$[G:H]$

拉格朗日定理的内容就是

$$[G]=[H][G:H]$$

人话：所有$G$的子群的指数都是$G$阶的因数

(感性)证明

由于$G$的子群$H$中一定含有幺元$e$,那么只要穷极所有$x\in G$构造它的左陪集$xH$，那么所有$xH$的并集一定是$G$,而根据$H$ 的任意两个陪集要么相等，要么没有交集，$H$的任意陪集又与$H$是同构关系，即$H$的陪集的阶$H$的阶均相等，所以很显然，群的阶就等于陪集的阶乘上陪集的个数

商群

设$G_x$是$G$的子群，那么$G$关于$G_x$所有陪集组成的集合称为$G$关于$G_x$的商集，记作$G/G_x$

轨道稳定子定理

轨道

就是一个点通过置换群$G$所能走到的所有的点组成的集合

稳定子

一个点经过$G$的某些置换不会改变位置，所有这样的置换称为稳定子

不动点

一个状态$a$,经过某一个置换$g$没有改变，那么我们称$a$是置换$g$下的一个不动点

轨道稳定子定理

我们设置换群是$G$,$G_x$称为$x$的稳定子,$G(x)$是$x$的轨道，那么

$$|G|=|G_x||G(x)|$$

人话就是，$x$所在轨道的大小乘$x$所在稳定子集合的大小就是群的阶

证明

首先证明，$G_k$是$G$的子群,$G_k$的为$G_k=\{g|g(x)=x\},G(x)=\{g(x)\mid g\in G\}$

• 封闭性：若 $f,g\in G$ ，则 $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x)=x$ ，所以 $f\circ g\in G_x$。
• 结合律：显然置换的乘法满足结合律。
• 单位元：因为$I(x)=x$，所以$I\in G_x$ $I$ 为恒等置换。
• 逆元：若 $g\in G_x$ ，则 $g^{-1}(x)=g^{-1}(g(x))=(g^{-1}\circ g)(x)=I(x)=x$ ，所以 $g^{-1}\in G_x$。

由拉格朗日定理有

$$\mid G\mid =[G:G_k]|G_k|$$

所以我们现在的目标就是要证明$[G:G_k]=|G(x)|$,即我们要证明，$G_k$的轨道大小等于由它划分出来的陪集的数量，也就是我们证明二者存在一个双射关系

令两个在轨道上元素是$a(x),b(x)$

1. 当$a(x)=b(x)$时，两边同乘$b^{-1}$有,$b^{-1}a(x)=I(x)=x$,所以$b^{-1}a\in G_k$,那么由陪集的性质$Ha=H\iff a\in H$，有$b^{-1}a(x)G_k=G_k$,$a{G}_k=b{G}_k$,所以一个轨道上的点只能对应一个陪集
2. 当$a{G}_k=b{G}_k$,有$b^{-1}a{G}_k=G_k$，同样由上面那个陪集的性质，有$b^{-1}a\in G_k$,所以有$b^{-1}a(x)=I(x),a(x)=b(x)$,因此一个陪集只能对应一个轨道上的点

由此，我们证明了轨道与陪集存在一个双射关系，即两者同构，也就证明了$[G:G_k]=|G(x)|$

所以轨道稳定集定理自然得证

burnside引理和polya定理

问题引入

我们有一个大小为$n$的，颜色数为$m$的彩色项链，对其进行染色，要求经过旋转相同的方案数为同一种方案

burnside引理

我们上文花了大量的时间来探讨群论，探讨轨道与稳定子，那么我们用置换群来理解上面那个问题

我们设$X$表示所有不考虑顺序的染色方案的集合，$G$是我们的置换群，对应的就是旋转操作，$X/G$表示$X$在$G$的作用下形成的本质不同的等价类的个数，$X^g=\{x\mid x\in X,g(x)=x\}$,即在该置换的作用下不动点的个数

定理内容

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|$$

人话：本质不同的等价类个数=不同置换下不动点个数的平均值

证明

$$\begin{array}{rl}\sum _{g\in G}|X^g|& =\sum _{x\in X}|G_x|(\mathrm{不}\mathrm{动}\mathrm{点}\mathrm{两}\mathrm{种}\mathrm{统}\mathrm{计}\mathrm{方}\mathrm{法})\\ & =\sum _{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|}X(\mathrm{轨}\mathrm{道}\mathrm{稳}\mathrm{定}\mathrm{子}\mathrm{定}\mathrm{理})\\ & =|G|\sum _{x\in X}\frac{1}{|G(x)|}(\mathrm{下}Y\mathrm{指}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{类}\mathrm{的}\mathrm{轨}\mathrm{道})\\ & =|G|\sum _{Y\in X/G}\sum _{x\in Y}\frac{1}{|G(x)|}(\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{类}\mathrm{找}\mathrm{轨}\mathrm{道})\\ & =|G|\sum _{Y\in X/G}\sum _{x\in Y}\frac{1}{|Y|}(\mathrm{同}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{类}\mathrm{轨}\mathrm{道}\mathrm{相}\mathrm{等})\\ & =|G|\sum _{Y\in X/G}|Y|\frac{1}{|Y|}\\ & =|G||X/G|\end{array}$$

所以

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|$$

$burnside$引理得证

polya定理

定理内容

我们设$c(g)$表示置换$g$中循环置换的个数，若有$m$种颜色，那么有$|X^g|=m^{c(g)}$

所以我们所要统计的本质不同的方案数就是

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{m}^{c(g)}$$

考虑这么做的意义，之前我们需要暴力去枚举所有$m^n$个$x$中的元素，并考察对它们进行置换$g$是否会发生改变，这个复杂度显然是我们没有办法接受的，但是$polya$定理的式子只要求我们将置换群$G$中的每个置换$g$，将其分组成一些互不影响的循环

如对于置换

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\end{array}\right)$$

我们将其分组$(1,2)(3,4)$,因为$1,2$一起换,$3,4$一起换，它们不会互相影响，所以我们要数的就是这样的循环的个数，处理单个置换$g$复杂度级别就由$O(m^n)$降为了$O(n)$

证明(感性理解)

还是上面那个例子，考虑置换$(1,2)(3,4)$，我们思考什么样的状态是不动点，实际上，我们很容易发现，所谓的不动点，就是$1,2$位置染的色相同，$3,4$位置的颜色相同，那可不$g$置换不能改变了