二叉树介绍

二叉树可以用来做什么？

答：可以搜索、排序

可是，排序有快速排序、归并排序，查找有二分法、直接遍历等，那么为什么要用二叉树呢？

二叉树确实在实际运用中比较少，因为有更高级的树，但是二叉树作为一种最基本最典型的排序树，是研究其他树的基础。

我们知道，在有序数组中，可以快速找到特定的值；但是在有序数组内插入一个新数据项，或者删除数据项，需要费时的移动所有位置改变的数据项，所以在做插入和删除操作时，不该选用有序数组。

另一方面，链表中可以快速添加和删除某个数据项，但是在链表中查找数据不容易，必须从头开始访问链表的每一个数据项，直到找到该数据为止，过程很慢。

树这种数据结构，技能像链表那样快速插入和删除，又能像有序数组那样快速查找。这里主要实现一种特殊的树--二叉（搜索）树。

二叉（搜索）树有如下特点：

1. 一个子节点的关键字值小于这个节点，右子节点的关键字值大于或者等于这个节点。

2. 插入一个节点需要根据这个规则进行插入。

3. 删除节点时，二叉搜索树最复杂的操作，但是删除节点在很多树中的应用又非常重要，所以详细研究并总结如下特点。

  1）删除节点要从查找要删的节点开始入手，首先找到节点，这个要删除的节点可能有三种情况需要考虑：

　　a. 该节点是叶节点，没有子节点；

　　b. 该节点有一个子节点；

　　c. 该节点有2个子节点；

　第一种最简单，第二种也比较简单，第三种就相当复杂了。下面分析这三种删除情况：

一、要删除叶节点，只需要改变该节点的父节点对应子字段的值即可，由指向该节点改为 null 就可以了。垃圾回收器会自动回收叶节点，不需要自己手动删掉。

二、当节点有一个子节点时，这个节点只有两个连接：连向父节点和连向它唯一的子节点。需要从这个序列中剪断这个节点，把它的子节点直接连到它的父节点上即可，这个过程要求改变父节点适当的引用（左子节点还是右子节点），指向要删除节点的子节点即可。

三、这种情况最复杂，如果要删除有两个子节点的节点，就不能只用它的一个子节点代替它，比如要删除节点25，如果用35取代它，那35的左子节点是15呢还是30？

                                                                                                       

因此需要考虑另一种方法，寻找它的中序后继来代替该节点。下图显示的就是要删除节点用它的后继代替它的情况，删除后还是有序的。（这里还有更麻烦的情况，即它的后继自己也有右子节点，下面再讨论。）

                                                                                                       

那么如何找后继节点呢？首先得找到要删除的节点的右子节点，它的关键字值一定比待删除节点的大。然后转到待删除节点右子节点的左子节点那里（如果有的话），然后到这个左子节点的左子节点，以此类推，顺着左子节点的路径一直向下找，这个路径上的最后一个左子节点就是待删除节点的后继。如果待删除节点的右子节点没有左子节点，那么这个右子节点本身就是后继。寻找后继的示意图如下：

                                                                                               

 

 找到了后继节点，现在开始删除了，先看第一种情况，后继节点是delNode右子节点的做后代，这种情况要执行以下四个步骤：

• 把后继父节点的leftChild字段置为后继的右子节点；

• 把后继的rightChild字段置为要删除节点的右子节点；

• 把待删除节点从它父节点的leftChild或rightChild字段删除，把这个字段置为后继；

• 把待删除的左子节点移除，将后继的leftChild字段置为待删除节点的左子节点。

如下图所示：

                                                                                         

如果后继节点就是待删除节点的右子节点，这种情况就简单了，因为只需要把后继为跟的子树移到删除的节点的位置即可。如下图所示：

                                                                                         

看到这里，就会发现删除时相当棘手的操作。实际上，因为它非常复杂，一些程序员都尝试着躲开它，他们在Node类中加了一个Boolean字段来标识该节点是否已经被删除，在其他操作之前会先判断这个节点是不是已经删除了，这样删除节点不会改变树的结构。当然树中还保留着这种已经删除的节点，对存储造成浪费，但是如果没有那么多删除的话，这也不失为一个好方法。

另外二叉树有三种遍历方式：前序、中序和后序。这个比较简单，直接看下代码即可。

下面手写个二叉搜索树的代码

 public class BinaryTree {
      private BNode root;   //根节点
    　public BinaryTree() {
        root = null;  
    }    
   
    //二叉搜索树查找的时间复杂度为O(logN)
    public BNode find(int key) { //find node with given key
      BNode current = root;
      while(current.key != key) {
        if (key < current.key) {
             current = current.leftChild;    
         }else {
             current = current.rightChild;
         }
         if(current == null) {
             return null;
         }    
     }
     return current; 
   }

   // 插入节点
   public void insert(int key, double value) {
       BNode newNode = new BNode();
       newNode.key = key;
       newNode.data = value;
       if(root == null) { //if tree is null
            root = newNode;
        }
        else {
            BNode current = root;
            BNode parent;
            while(true) {
                parent = current;
                if(key < current.data) { //turn left
                    current = current.leftChild;
                    if(current == null) {
                        parent.leftChild = newNode;
                        newNode.parent = parent;
                        return;
                    }
                }else { //turn right
                    current = current.rightChild;
                    if(current == null) {
                        parent.rightChild = newNode;
                        newNode.parent = parent;
                        return;
                    }
                }
            }
        }
    }
 
　　//遍历二叉树    
　　public void traverse(int traverseType) {
     switch (traverseType){
        case 1: System.out.println("Preorder traversal:");
                preOrder(root);//前向遍历
                break;
        case 2: System.out.println("Inorder traversal:");
                inOrder(root);//中向遍历
                break;
        case 3: System.out.println("Postorder traversal:");
                postOrder(root);//后向遍历
                break;
        default: System.out.println("Inorder traversal:");
                inOrder(root);
                break;
        }
        System.out.println("");
    }

    
　　//前向遍历
　　private void preOrder(BNode localRoot) {
    　　if(localRoot != null) {
         　　System.out.print(localRoot.data + " ");
         　　preOrder(localRoot.leftChild);
         　　preOrder(localRoot.rightChild);
    　　}
　　}
   
　　//中向遍历
　　private void inOrder(BNode localRoot) {
   　　if(localRoot != null) {
       　　inOrder(localRoot.leftChild);
       　　System.out.print(localRoot.data + " ");
       　　inOrder(localRoot.rightChild);
   　　}
　　}

    
　　//后向遍历
　　private void postOrder(BNode localRoot) {
   　　if(localRoot != null) {
        　　postOrder(localRoot.leftChild);
        　　postOrder(localRoot.rightChild);
        　　System.out.print(localRoot.data + " ");
    　　}
　　}

　　//查找最小值
    
　　/*根据二叉搜索树的存储规则，最小值应该是左边那个没有子节点的那个节点*/
    
　　public BNode minNumber() {
   　　BNode current = root;
   　　BNode parent = root;
   　　while(current != null) {
        　　parent = current;
        　　current = current.leftChild;
    　　}   
    　　return parent;
　　}
   
　　//查找最大值
    
　　/*根据二叉搜索树的存储规则，最大值应该是右边那个没有子节点的那个节点*/
    
　　public BNode maxNumber() {
        BNode current = root;
        BNode parent = root;
        while(current != null) {
            parent = current;
            current = current.rightChild;
        }   
        return parent;
    }

    
132　　 //删除节点
    
　　/*
     * 删除节点在二叉树中是最复杂的，主要有三种情况：
     * 1. 该节点没有子节点（简单）
     * 2. 该节点有一个子节点（还行）
     * 3. 该节点有两个子节点（复杂）
     * 删除节点的时间复杂度为O(logN)
     */
    
　　public boolean delete(int key) {
        BNode current = root;
144 //        BNode parent = root;
        boolean isLeftChild = true;
　　　　 if(current == null) {
           return false;
        }
        //寻找要删除的节点
        while(current.key != key) {
//            parent = current;
            if(key < current.key) {
                isLeftChild = true;
                current = current.leftChild;
            }
            else{
                isLeftChild = false;
                current = current.rightChild;
            }
            if(current == null) {
                return false;
            }
        }
        //找到了要删除的节点，下面开始删除
        //1. 要删除的节点没有子节点,直接将其父节点的左子节点或者右子节点赋为null即可
        if(current.leftChild == null && current.rightChild == null) {
            return deleteNoChild(current, isLeftChild);
        }
　　　　　//3. 要删除的节点有两个子节点
        else if(current.leftChild != null && current.rightChild != null) {
            return deleteTwoChild(current, isLeftChild);
        }

        //2. 要删除的节点有一个子节点，直接将其砍断，将其子节点与其父节点连起来即可，要考虑特殊情况就是删除根节点，因为根节点没有父节点
        else{
            return deleteOneChild(current, isLeftChild);
        }

    }

    
　　public boolean deleteNoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
        if(node == root) {
           root = null;
            return true;
        }
        if(isLeftChild) {
            node.parent.leftChild = null;
        }
        else{
            node.parent.rightChild = null;
        }
        return true;
    }

    
　　public boolean deleteOneChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
        if(node.leftChild == null) {
            if(node == root) {
                root = node.rightChild;
                node.parent = null;
                return true;
            }
            if(isLeftChild) {
                node.parent.leftChild  = node.rightChild;
            }
            else{
                node.parent.rightChild = node.rightChild;
            }
            node.rightChild.parent = node.parent;
        }
        else{
            if(node == root) {
                root = node.leftChild;
                node.parent = null;
                return true;
            }
            if(isLeftChild) {
                node.parent.leftChild  = node.leftChild;
            }
            else{
                node.parent.rightChild = node.leftChild;
            }
            node.leftChild.parent = node.parent;
        }
        return true;
    }

    
　　public boolean deleteTwoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
        BNode successor = getSuccessor(node);
        if(node == root) {
            successor.leftChild = root.leftChild;
            successor.rightChild = root.rightChild;
            successor.parent = null;
            root = successor;
        }
        else if(isLeftChild) {
            node.parent.leftChild = successor;
        }
        else{
            node.parent.rightChild = successor;
        }
        successor.leftChild = node.leftChild;//connect successor to node's left child
        return true;
    }

    //获得要删除节点的后继节点（中序遍历的下一个节点）
    public BNode getSuccessor(BNode delNode) {
        BNode successor = delNode;
        BNode current = delNode.rightChild;
        while(current != null) {
            successor = current;
            current = current.leftChild;
        }
        if(successor != delNode.rightChild) {
            successor.parent.leftChild = successor.rightChild;
            if(successor.rightChild != null) {      
                successor.rightChild.parent = successor.parent;//删除后续节点在原来的位置
            }
            successor.rightChild = delNode.rightChild;//将后续节点放到正确位置，与右边连上
        }
        return successor;
    }
}   

class BNode {
    public int key;
    public double data;
    public BNode parent;
    public BNode leftChild;
    public BNode rightChild;

    public void displayNode() {
        System.out.println("{" + key + ":" + data + "}");
    }
}