随机过程笔记2：谱分析
谱分析Spectral Analysis of Stochastic Process
谱，从某种角度出发，进行分解，以把握特征。
1.引入：确定性信号的分解
对于确定性周期信号：\(X(t),deterministic,Periodic:X(t+T)=X(t)\)
，有：\(x(t)=\sum_k\alpha_ke^{j\omega_kt},\omega_k=\frac{2k\pi}{T},\frac{2\pi}{T}\)为基频Base Frequency，其中\(\alpha_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega_kt}dt\)
- 展开仅仅成立在\(t\in[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\)
- 对于非周期函数也可在区间做傅里叶级数展开，区间之外傅里叶级数是其周期延拓
- 基函数\(\frac{1}{\sqrt{T}}e^{j\omega_kt},k\in(-\infty,+\infty)\)是规范正交基。此时与对应函数做内积就可以直接得到系数，相当于在对应方向上的投影。
当\(T\rightarrow\infty\)，则有傅里叶变换：
\[\begin{aligned}
x(t)&=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\omega_ks}ds]e^{j\omega_kt}\\
&=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\\
&=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\cdot\frac{2\pi}{T}\\
\lim_{T\rightarrow\infty}x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\\
\end{aligned}
\]
傅里叶变换对：
\[\left\{
\begin{aligned}
x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\\
X(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt
\end{aligned}
\right.
\]
2.随机信号的分解——功率谱密度
\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\cdot\frac{2\pi}{T}
\]
相比确定信号，随机信号可能存在一个问题，积分是否收敛？
对于傅里叶变换积分收敛，存在一个条件：\(x(t)\in L^1(\mathbb{R})\Leftrightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt<\infty\)。该条件对于确定性信号，是普遍满足的。对于不满足的情况，通常也会做一些处理。
例如cos(t)，引入广义函数\(\frac{1}{2}[\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)]\)
面对这样的问题，可以提供两种解决办法。物理的角度：可以想到的是，希望做傅里叶的是有衰减趋势的函数，可以考虑二阶的函数。大部分相关函数是衰减的（也有周期振荡的）。下面以复随机信号(宽平稳)为例：
\[\begin{aligned}
&\frac{1}{T}E|\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt|^2\\
(&有损的变换,相位信息消失)\\
=&\frac{1}{T}E(\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt)(\overline{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\omega s}ds})\\
=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}E[x(t)\overline{x(s)}]e^{-j\omega (t-s)}dtds\\
(&对于宽平稳有E[x(t)\overline{x(s)}]=R_x(t,s)=R_x(t-s))\\
=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}R_x(t-s)e^{-j\omega (t-s)}dtds\\
(&换元u=t-s,v=t+s,雅可比行列式dtds=|det\frac{\partial(t,s)}{\partial(u,v)}|dudv=\frac{1}{2}dudv)\\
=&\frac{1}{2T}[\int_{-T}^0\int_{-u-T}^{u+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu+\int_0^T\int_{u-T}^{-u+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu]\\
=&\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\int_{|u|-T}^{-|u|+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu\\
=&\frac{1}{2T}\int_{-T}^T(2T-2|u|)R_x(u)e^{-j\omega u}du\\
=&\int_{-T}^T(1-\frac{|u|}{T})R_x(u)e^{-j\omega u}du\\
则&\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}E|\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt|^2=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(u)e^{-j\omega u}du=S_x(\omega)
\end{aligned}
\]
上述结果即为功率谱密度Power Spectral Density，简称PSD。得到随机信号的傅里叶变换对（由相关函数的傅里叶变换得到功率谱密度）：
\[\left\{
\begin{aligned}
S_x(\omega)=&\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(u)e^{-j\omega u}du\\
R_x(u)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)e^{j\omega u}d\omega
\end{aligned}
\right.
\]
分析：
-
功率：量纲是\(I^2T\)焦耳\(J\)，即能量。换个角度，可得到\(R_x(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_x(\omega)d\omega=E|x(t)|^2\)，为功率，则\(S_x(\omega)\)单位为功率除以频率，也就是功率乘以时间，故量纲是\(J\)，即能量。
-
谱：功率谱密度反映的是随机过程在每个频点上功率的大小，是一个二阶量。
- \(S_{\alpha x}(\omega)=|\alpha|^2S_x(\omega)\)
- \(R_x(0)-R_x(\tau)\geq\frac{1}{4}[R_x(0)-R_x(2\tau)]\)
证明思路1：
\[\begin{aligned} &上式等价于：3R_x(0)-4R_x(\tau)+R_x(2\tau)\geq0\\ &\begin{pmatrix} x\\y\\x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R_x(0)&R_x(\tau)&R_x(2\tau)\\ R_x(\tau)&R_x(0)&R_x(\tau)\\ R_x(2\tau)&R_x(\tau)&R_x(0)\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x&y&x \end{pmatrix}\\ =&f_1(x,y,z)R_x(0)+f_2(x,y,z)R_x(\tau)+f_3(x,y,z)R_x(2\tau)\\ \geq&0(根据正定)\\ &解f_1=3,f_2=-4,f_3=1(待定系数法) \end{aligned} \]证明思路2：频域上分析
\[\begin{aligned} &已知:R_x(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)d\omega,R_x(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega\\ &则R_x(0)-4R_x(\tau)+R_x(2\tau)\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)[3-4e^{j\omega\tau}+e^{j\omega2\tau}]d\omega\\ &(在下面有结论:S_x(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau)\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)[3-4cos(\omega\tau)+cos(2\omega\tau)]d\omega\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2S_x(\omega)[cos(\omega\tau)-1]^2d\omega\geq0 \end{aligned} \]- \(R_x(0)-R_x(\tau)\geq\frac{1}{4^n}[R_x(0)-R_x(2^n\tau)]\)
-
\(S_{x+y}\neq S_x(\omega)+S_y(\omega)\)
-
密度：体现在是常数。
-
关于\(S_x(\omega)\geq0\)，从另外一个角度分析。相关函数\(R_x(t)\)是正定的，根据Bochner的结果，其傅里叶变换也是正的。
-
如果是实变量，功率谱是偶函数：\(S_x(\omega)=S_x(-\omega)\)。实信号没有负频率的说法，其频率负轴是频率正轴的镜像。验证：
\[\begin{aligned}
S_x(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau-j\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)sin(\omega\tau)d\tau\\
&(积分内部为奇函数，则\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)sin(\omega\tau)d\tau=0)\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(-\omega\tau)d\tau=S_x(-\omega)
\end{aligned}
\]
- 随机过程通过线性系统：有\(Y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tau\)，其中\(h(t)\)是系统的冲激响应，\(H(\omega)\)是传递函数。
flowchart LR
A["X(t)"]-->B["H(LTI：线性时不变系统)"]-->C["Y(t)"]
\[\begin{aligned}
R_y(t,s)&=E[Y(t)\overline{Y(s)}]\\
&=E[(\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tau)\overline{(\int_{-\infty}^{+\infty}h(s-r)x(r)dr)}]\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}E[x(\tau)\overline{x(r)}]h(t-\tau)\overline{h(s-r)}d\tau dr\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau-r)h(t-\tau)\overline{h(s-r)}d\tau dr\\
&(1.被积函数自变量相加可消去积分变量;2.卷积结果是函数,其取自变量加和的值)\\
&(构造\widetilde{h}(t))=\overline{h(-t)})\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau-r)h(t-\tau)\widetilde{h}(r-s)d\tau dr\\
&=(R_x*h*\widetilde{h})(t-s)\\
\end{aligned}
\]
结论:宽平稳的随机过程通过线性系统仍然是宽平稳。
\[\begin{aligned}
\widetilde{H}(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{h}(t)e^{-j\omega t}dt\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{h(-t)}e^{-j\omega t}dt\\
&=\overline{\int_{-\infty}^{+\infty}h(-t)e^{-j\omega t}dt}\\
&=\overline{\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-j\omega t}dt}\\
&=\overline{H(\omega)}\\
S_y(\omega)&=S_x(\omega)H(\omega)\widetilde{H}(\omega)\\
&=S_x(\omega)H(\omega)\overline{H(\omega)}\\
&=S_x(\omega)|H(\omega)|^2
\end{aligned}
\]
例：
\[\begin{aligned}
|E[X(t)Y(t)]&\leq[E(X^2(t)Y^2(t))]^{\frac{1}{2}}\\
|R_{XY}(0)|&\leq[R_X(0)R_Y(0)]^{\frac{1}{2}}\\
|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{XY}(\omega)d\omega|&\leq\frac{1}{2\pi}[\int_{-\infty}^{+\infty}S_X(\omega)d\omega\int_{-\infty}^{+\infty}S_Y(\omega)d\omega]^{\frac{1}{2}}\\
|\int_a^bS_{XY}(\omega)d\omega|&\leq[\int_a^bS_X(\omega)d\omega\int_a^bS_Y(\omega)d\omega]^{\frac{1}{2}}\\(相当于经过一个&带通滤波器,是线性的)
\end{aligned}
\]
Wiener-Khinchine Relation.
Wiener：Cybernetics控制论，数学，美
Khinchine：排队论之父，前苏联
