【BZOJ4498】—魔法的碰撞（组合数学+dp）

传送门

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首先我们发现一个排列，2个魔法使之间一定要填$max(d_i,d_{i+1})-1$个格子
而如果总共一定要填的为$k$个，贡献就是${L-k\choose n}$

考虑$dp$出每种情况的方案数

首先按$d$从大到小排序消除$max$
我们发现一个魔法师的贡献只和他左右2边的人比他大还是小
我们考虑记一维还有几个比已经算的人要小的需要填的
考虑$f[i][j][k]$表示前$i$个人，前面人还需要填入$j$个比他们小的，总贡献为$k$的方案数

考虑转移只需要枚举当前这个要$0,1,2$个比他小的就可以了
最后答案就是$\sum_{i}f[n][0][i]*{L-i\choose n}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
	static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
	(ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
	return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
	char ch=gc();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
	while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
	return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
#define re register
const int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline void Add(int &a,int b){a=add(a,b);}
inline int dec(int a,int b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a=dec(a,b);}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));return res;
}
const int N=44,M=1000005;
int L,n,d[N],s,fac[M],ifac[M],f[N][N][2*N*N];
inline void init(){
	fac[0]=ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<M;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[M-1]=ksm(fac[M-1],mod-2);
	for(int i=M-2;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
}
inline int c(int n,int m){
	if(n<m)return 0;
	return mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m]));
}
inline bool comp(int a,int b){
	return a>b;
}
int main(){
	init();
	L=read(),n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=read()-1;
	sort(d+1,d+n+1,comp);
	f[0][1][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s+=d[i];
		for(int j=0;j<=i+1;j++)
		for(int k=0;k<=s*2;k++){
			Add(f[i][j][k],mul(f[i-1][j+1][k],j+1));
			if(k>=d[i])Add(f[i][j][k],mul(f[i-1][j][k-d[i]],j*2));
			if(j&&k>=2*d[i])Add(f[i][j][k],mul(f[i-1][j-1][k-2*d[i]],j-1));
		}
	}
	int res=0;
	for(int i=0;i<=2*s;i++)Add(res,mul(f[n][0][i],c(L-i,n)));
	cout<<res;
}