【LOJ #6503】【雅礼集训 2018 Day4】—Magic（生成函数+分治NTT）

传送门

考虑恰好$k$个对不好求
求出至少$k$个对的方案$f[k]$
设$l$为最多的对数
那么$ans[k]=\sum_{i=k}^{l}(-1)^{i-k}{i\choose k}f_i$

由于同一种卡相同不好算
可以先假设每张都不相同
最后乘上一个$\frac{1}{\prod_{ai!}}$

可以对于每一种拍的魔法对数构建$OGF：f(x)=\sum_{i=0}^{a}f_ix^i$
考虑系数怎么求
假设现在要$k$对
那么首先有$a-k$张
第一对有$a-k$种选法，第二对有$a-k+1$种选法，……
最后就是$\frac{(a-1)!}{(a-k-1)!}$
乘上一个${a\choose k}$就可以了

然后分治$NTT$乘起来就完了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ob==ib)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ob==ib)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define re register
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define cs const
#define poly vector<int>
#define bg begin
const int mod=998244353,G=3;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline void Add(int &a,int b){a=add(a,b);}
inline int dec(int a,int b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a=dec(a,b);}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)?(res=mul(res,a)):0;return res;}
inline void chemx(int &a,int b){a<b?a=b:0;}
inline void chemn(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
cs int N=100005,C=19;
poly w[C+1];
inline void init_w(){
	for(int i=1;i<=C;i++)w[i].resize(1<<(i-1));
	int wn=ksm(G,(mod-1)/(1<<C));w[C][0]=1;
	for(int i=1;i<(1<<(C-1));i++)w[C][i]=mul(w[C][i-1],wn);
	for(int i=C-1;i;i--)
	for(int j=0;j<(1<<(i-1));j++)
	w[i][j]=w[i+1][j<<1];
}
int rev[N<<2];
inline void init_rev(int lim){
	for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
}
inline void ntt(poly &f,int lim,int kd){
	for(int i=0;i<lim;i++)if(i>rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
	for(int mid=1,l=1,a0,a1;mid<lim;mid<<=1,l++)
	for(int i=0;i<lim;i+=(mid<<1))
	for(int j=0;j<mid;j++)
	a0=f[i+j],a1=mul(f[i+j+mid],w[l][j]),f[i+j]=add(a0,a1),f[i+j+mid]=dec(a0,a1);
	if(kd==-1){
		reverse(f.bg()+1,f.bg()+lim);
		for(int i=0,inv=ksm(lim,mod-2);i<lim;i++)Mul(f[i],inv);
	}
}
inline poly operator *(poly a,poly b){
	int deg=a.size()+b.size()-1,lim=1;
	while(lim<deg)lim<<=1;
	init_rev(lim);
	a.resize(lim),ntt(a,lim,1);
	b.resize(lim),ntt(b,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)Mul(a[i],b[i]);
	ntt(a,lim,-1),a.resize(deg);
	return a;
}
int n,m,k,a[N];
int fac[N],ifac[N];
inline void init(cs int len=N-5){
	fac[0]=ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<=len;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[len]=ksm(fac[len],mod-2);
	for(int i=len-1;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
}
inline int c(int n,int m){
	return n<m?0:mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m]));
}
#define lc (u<<1)
#define rc ((u<<1)|1)
#define mid ((l+r)>>1)
poly f[N<<2];
inline void build(int u,int l,int r){
	if(l==r){
		for(int i=0;i<a[l];i++)f[u].pb(mul(c(a[l],i),mul(fac[a[l]-1],ifac[a[l]-i-1])));
		return;
	}
	build(lc,l,mid);
	build(rc,mid+1,r);
	f[u]=f[lc]*f[rc];
}
int main(){
	init(),init_w();
	m=read(),n=read(),k=read();
	int tt=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=read(),Mul(tt,ifac[a[i]]);
	build(1,1,m);
	for(int i=0;i<f[1].size();i++)Mul(f[1][i],mul(tt,fac[n-i]));
	int res=0;
	for(int i=k;i<f[1].size();i++)
	if((i-k)&1)Dec(res,mul(f[1][i],c(i,k)));
	else Add(res,mul(f[1][i],c(i,k)));
	cout<<res;
}