【我也不知道是从哪儿来的题】—树（矩阵树定理）

题目

给一棵n 个节点的树，节点分别编号为0 到n - 1。
你可以通过如下的操作来修改这棵树：
首先先删去树上的一条边，此时树会分裂为两个连通块，然后在两个连通块之间加上一条新的边使得它们变成一棵新的树。
问有多少棵n 个节点的树可以通过对原树进行不超过k 次这样的操作来得到，答案对10^9 + 7 取模。
如果有一条边(u; v) 出现在了树A 中且不在树B中，我们就认为树A 和树B 是不同的。

考虑如果建出一个完全图
把非树边设为$x$，树边设为$1$

其实求得就是矩阵树求出行列式后$x^i$的系数
由于模数不友好，直接做是$O(n^5)$的

由于显然最后行列式是一个$n-1$次多项式
带入$x=[1,n]$求出点值后高斯消元或者拉格朗日把原多项式搞出来就是了

复杂度$O(n^4)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ob==ib)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ob==ib)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define re register
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define cs const
#define bg begin
const int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline void Add(int &a,int b){a=add(a,b);}
inline int dec(int a,int b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a=dec(a,b);}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)?(res=mul(res,a)):0;return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline void chemx(int &a,int b){a<b?a=b:0;}
inline void chemn(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
cs int N=88;
int e[N][N],n,k;
int a[N][N],f[N][N];
inline int calc(int v){
	memset(a,0,sizeof(a));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=i+1;j<=n;j++){
		if(e[i][j])a[i][j]=a[j][i]=mod-1,a[i][i]++,a[j][j]++;
		else a[i][j]=a[j][i]=mod-v,Add(a[i][i],v),Add(a[j][j],v);
	}
	int res=1;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int pos=i;
		for(pos=i;pos<n;pos++)if(a[pos][i])break;
		if(pos==n)return 0;
		if(i!=pos)swap(a[i],a[pos]),res=mod-res;
		int inv=Inv(a[i][i]);
		for(int j=i+1;j<n;j++){
			int p=mul(a[j][i],inv);
			for(int k=i;k<n;k++)
			Dec(a[j][k],mul(a[i][k],p));
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++)Mul(res,a[i][i]);
	return res;
}
inline void Gauss(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int pos;
		for(pos=i;pos<=n;pos++)if(f[pos][i])break;
		if(pos==n+1)continue;
		swap(f[i],f[pos]);
		int inv=Inv(f[i][i]);
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			int p=mul(f[j][i],inv);
			for(int k=i;k<=n+1;k++)
			Dec(f[j][k],mul(f[i][k],p));
		}
	}
	for(int i=n;i;i--){
		for(int j=i+1;j<=n;j++)Dec(f[i][n+1],mul(f[i][j],f[j][n+1]));
		Mul(f[i][n+1],Inv(f[i][i]));
	}
}
int main(){
	n=read(),k=read();
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int v=read()+1;
		e[i][v]=e[v][i]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][1]=1;
		for(int j=2;j<=n;j++)f[i][j]=mul(f[i][j-1],i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[i][n+1]=calc(i);
	Gauss();
	int res=0;
	for(int i=1;i<=k+1;i++)Add(res,f[i][n+1]);
	cout<<res;
}