【LOJ#3045】【ZJOI2019】—开关（FWT）

传送门

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令$f_s$表示走到状态$s$的期望步数
那么有
$s=\empty,f_s=0$
$else ,f_s=1+\sum_{i}f_{s\oplus i}p_i$
这是$fwt$的形式
设$f$为$f_s$的集合幂级数
设$g=\sum_{i}p_ix^{2^i}$
那么有$f=\sum_{s}x^s+f*g+rx^{\empty}$
$r$是由于$f_{\empty}$而设的一个未知量

$f(1-g)=\sum_{s}x^s+rx^{\empty}$
$fwt$后有
$\hat f(1-\hat g)=\sum_{s}\sum_{T}(-1)^{|S\cap T|}x^s+\sum_{s}rx^s$
对于
$s=\empty$，由于$\hat g_{s}=\sum_{i}p_i=1$
左边为0
又由于有$\frac{1}{2^n}\sum_{T}(-1)^{|S\cap T|}=[s=\empty]$
所以$r=-2^n$

对于$s\not=\empty$
那么$\hat f_s=\frac{-2^n}{1-\hat g_s}$

由于

$f_s=\frac{1}{2^n}\sum_{T}(-1)^{|S\cap T|}\hat f_T$

$=\frac{\hat f_{\empty}}{2^n}-\sum_{T\not =\empty}(-1)^{|S\cap T|}\frac{1}{1-\hat g_T}$

对于$S=\empty$

那么$f_s=0=\frac{\hat f_{\empty}}{2^n}-\sum_{T\not =\empty}\frac{1}{1-\hat g_T}$

那么$f_S=\sum_{T\not=\empty}(1-(-1)^{|S\cap T|})\frac{1}{1-\hat g_T}\\=\sum_{T\not =\empty}[{|S\cap T|}\&1]\frac{2}{1-\hat g_T}$

又$\hat g_T=\sum_{i\notin T}p_i-\sum_{i\in T}p_i$

$f_S=\sum_{T\not =\empty}[{|S\cap T|}\&1]\frac{1}{\sum_{i\in T}p_i}$

由于$p$的值很小
考虑$dp$
$f[i][j][0/1]$表示前$i$个，概率之和为$j$,与$S$交集为奇偶的方案
最后加起来就完了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ob==ib)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ob==ib)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define re register
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define cs const
#define bg begin
template<class tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<class tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?(a+=mod):0;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=1ll*a*b%mod;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;
}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
cs int N=105,M=50005;
int f[N][M][2];
int n,s[N],p[N],inv[M],P; 
inline void init(){
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<M;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}
int main(){
	n=read(),init();
	for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=read();
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		P+=p[i];
		for(int j=0;j<=P;j++)
		for(int k=0;k<=1;k++){
			Add(f[i][j][k],f[i-1][j][k]);
			if(j>=p[i])Add(f[i][j][k^s[i]],f[i-1][j-p[i]][k]);
		}
	}
	int res=0;
	for(int i=1;i<=P;i++)
	Add(res,mul(f[n][i][1],mul(P,inv[i])));
	cout<<res;
}