【LOJ #6077】「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对（生成函数+DP）

传送门

设$f[i][j]$为$i$个数，逆序对数位$j$的方案数
显然枚举$i$放在哪里可以得到$dp$式

$f[i][j]=\sum_{k=0}^{min(i-1,j)}f_{i-1,j-k}$
写成生成函数的形式
实际上就是$\prod_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^ix^i)$
$=\frac{\prod_{i=1}^{n}(1-x^i)}{(1-x)^n}$
$\frac{1}{(1-x)^n}$的系数很好求
第$i$项为${i+n-1\choose n-1}$

考虑上面$\prod_{i=1}^{n}(1-x^i)$
中$x^n$系数的组合意义就是从$1-n$中选$j$个数使得和为$n$的方案乘上$(-1)^j$之和

考虑$DP$出$f[i][j]$表示选$i$个数使得和为$j$的方案
显然选的数的个数$m$满足$m*(m+1)\le 2*n$
$m$最多就是$450$左右

考虑$dp$选出来的数排序后的差分序列
那么$dp$方式和$小Y的背包计数问题$类似
要么新加入一个$1$，要么给之前每个数加1
注意要减去最后一个数大于了$n$的情况

复杂度$O(n\sqrt n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define bg begin
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
template<typename tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<typename tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?(a-mod):a;}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;return (r>=mod)?(r%mod):r;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b,a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;a=(r>=mod)?(r%mod):r;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
cs int N=200005;
int fac[N],ifac[N];
inline void init_inv(cs int len=N-5){
	fac[0]=ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<=len;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[len]=Inv(fac[len]);
	for(int i=len-1;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
}
inline int C(int n,int m){
	return n<m?0:mul(mul(fac[n],ifac[m]),ifac[n-m]);
}
int m,f[2][100005],s[100005],n,k,cur;
int main(){
	#ifdef Stargazer
	freopen("lx.in","r",stdin);
	#endif
	init_inv();
	n=read(),k=read();
	m=450;
	f[0][0]=1;
	s[0]++;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cur^=1;
		memset(f[cur],0,sizeof(f[cur]));
		for(int j=i;j<=k;j++){
			Add(f[cur][j],add(f[cur][j-i],f[cur^1][j-i]));
			if(j>n)Dec(f[cur][j],f[cur^1][j-n-1]);
		}
		for(int j=i;j<=k;j++){
			if(i&1)Dec(s[j],f[cur][j]);
			else Add(s[j],f[cur][j]);
		}
	}
	int ret=0;
	for(int i=0;i<=k;i++)Add(ret,mul(s[i],C(k-i+n-1,n-1)));
	cout<<ret;
}