【BZOJ3754】Tree之最小方差生成树（分数规划+Kruscal）

传送门

Description
Wayne在玩儿一个很有趣的游戏。在游戏中，Wayne建造了N个城市，现在他想在这些城市间修一些公路，当然并不是任意两个城市间都能修，为了道路系统的美观，一共只有M对城市间能修公路，即有若干三元组 (Ui,Vi,Ci)表示Ui和Vi间有一条长度为Ci的双向道路。当然，游戏保证了，若所有道路都修建，那么任意两城市可以互相到达。Wayne拥有恰好N-1支修建队，每支队伍能且仅能修一条道路。当然，修建长度越大，修建的劳累度也越高，游戏设定是修建长度为C的公路就会有C的劳累度。当所有的队伍完工后，整个城市群必须连通，而这些修建队伍们会看看其他队伍的劳累情况，若劳累情况差异过大，可能就会引发骚动，不利于社会和谐发展。Wayne对这个问题非常头疼，于是他想知道，这N1支队伍劳累度的标准差最小能有多少。
标准差的定为：设有N个数，分别为ai,它们的平均数为 ,那么标准差就是

Input
第一行两个正整数N,M
接下来M行，每行三个正整数Ui,Vi,Ci
Output
输出最小的标准差，保留四位小数。
Sample Input
3 3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
Sample Output
0.5000
HINT
N<=100,M<=2000,Ci<=100

考虑到其实就是要使$\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-\overline{a})最小$

如果我们把一条边的边权设为$(a_i-\overline{a})$
那么答案就是最小生成树了

因为到$a$的范围很小，所以我们直接枚举$a$的平均值
然后做最小生成树

考虑到如果此时做出来的生成树的边权平均值$x$不等于我们枚举的值
那么当我枚举到$x$的时候显然答案会更优
所以正确性是没问题的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	char ch=getchar();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return res*f;
}
const int N=105;
const int M=2005;
int n,m,fa[N],mn=1e9,mx=0;
struct edge{
	int u,v,w,vis;
	double val;
}e[M];
double ans=1e9;
inline bool operator <(const edge &a,const edge &b){
	return a.val<b.val;
}
inline int find(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
inline double pf(double x){
	return x*x;
}
inline double Kruscal(){
	double res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int f1=find(e[i].u),f2=find(e[i].v);
		if(f1!=f2){
			fa[f1]=f2,res+=e[i].val;
		}
	}
	return res;
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].val=e[i].w=read();
	}
	sort(e+1,e+m+1);
	mn=Kruscal();
	reverse(e+1,e+m+1);
	mx=Kruscal();
	for(int i=mn;i<=mx;i++){
		double ave=i*1.0/(double)(n-1);
		for(int j=1;j<=m;j++)e[j].val=pf((double)e[j].w-ave);
		sort(e+1,e+m+1);
		ans=min(ans,Kruscal());//cout<<ans<<'\n';
	}
	printf("%.4lf",(sqrt(ans/(double)(n-1))));
}