【BZOj2226】【SPOJ5971】—LCMSum（欧拉函数+线性筛）

传送门

题意：求$\sum_{i=1}^n lcm(i,n)$

考虑到$lcm$无法处理，把$lcm$换成$gcd$

即$ans=\sum_{i=1}^{n}\frac {i*n}{gcd(i, n)}$

考虑由于辗转相减法$gcd(i,n)=gcd(n-i,n)$
把$\sum$内的前后两两配对

则$ans=\frac 1 2 (\sum_{i=1}^{n-1} \frac {i*n}{gcd(i,n)}+\sum_{i=1}^{n-1} \frac {(n-i)*n} {gcd(n-i,n)})+n$（因为$i=n$时对应的为$n-i=0$，所以单独提出来处理）

合并得：

$ans=\frac {1}{2}（\sum_{i=1}^{n-1}\frac{n^2}{gcd(i,n)}）+n$

考虑枚举$gcd(i,n)$

$ans=\frac 1 2 (\sum_{d|n\&d\not=n}\frac {n^2}d \sum_{i=1}^{n-1}[gcd(i,n)=d])$

把框里的$d$消去

$ans=\frac 1 2 (\sum_{d|n\&d\not=1} \frac {n^2}d\sum_{i=1}^{\frac n d}[gcd(i,\frac n d)=1])$

发现$\sum_{i=1}^{\frac n d}[gcd(i,\frac n d)=1]=\phi(\frac n d)$

则$ans=\frac 1 2(\sum_{d|n\&d\not=1} \frac {n^2}{d}\phi(\frac n d))$

我们枚举每个$d$，暴力更新它的所有倍数就可以$O(1)$回答了

复杂度$O(nlogn)$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	char ch=getchar();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return res*f;
} 
#define int long long
const int N=1000006;
int n,phi[N],pr[N],vis[N],tot,g[N]; 
inline void init(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i])pr[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&pr[j]*i<N;j++){
			vis[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0){
				phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;
			}
			phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]];
		}
	}
	for(int i=2;i<N;i++){
		for(int j=1;i*j<N;j++){
			g[i*j]+=i*phi[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<N;i++)g[i]=g[i]*i/2+i;
}
signed main(){
	init();int T=read();
	while(T--){
		cout<<g[read()]<<'\n';
	}
}