【BZOJ5339】【洛谷P4593】【TJOI2018】—教科书般的亵渎（拉格朗日插值）

传送门

题意很不清晰明确
建议手玩或者找篇有解释的题解

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其实大致就是要多次求$\sum_{i=1}^{a}{i^k}-\sum_{i=1}^{n}a_i^k$这样的东西
可以发现我们一共要做$m+1$次亵渎
实际上只用考虑怎么求$\sum_{i=1}^{n}i^{m+1}$
把柿子变一下得$\sum_{i=1}^{n}(n-i)^{m+1}$
网上说 可以得到这是一个关于$n$的$m+2$次多项式
由于有$n$项，所以多一次

于是可以插$m+2$个值就完了
取$1$~$m+2$可以做到$O(m^3)$

注意读入可能会爆$long \ long$
还有正负号

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<21|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ib==ob)?EOF:*ib++;
} 
#define gc getchar
#define int long long
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define pob pop_back
#define pf push_front
#define pof pop_front
#define mp make_pair
#define bg begin
#define re register
const int mod=1e9+7,g=3;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?(a+b)%mod:a+b;}
inline void Add(int &a,int b){a=add(a,b);}
inline int dec(int a,int b){return a>=b?a-b:(a-b)%mod+mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a=dec(a,b);}
inline int mul(int a,int b){return (a%mod*b%mod)%mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline void chemx(int &a,int b){a>b?0:a=b;}
inline void chemn(int &a,int b){a<b?a=b:0;}
const int N=55;
int n,m,fac[N],a[N];
inline int calc(int n,int m){
    int res=0;
    if(n<=m+2){
        for(int i=1;i<=n;i++)Add(res,ksm(i,m));return res;
    }
    int y=0;
    for(int i=1;i<=m+2;i++){
        Add(y,ksm(i,m));
        int k=mul(mul(dec(n%mod,i),fac[i-1]),fac[m+2-i]);
        if((m+2-i)&1)Mul(k,dec(0,1));
        k=ksm(k,mod-2);
        Add(res,mul(k,y));
    }
    for(int i=1;i<=m+2;i++)
    Mul(res,dec(n%mod,i));
    return res;
}
signed main(){
    int T=read();fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=54;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    while(T--){
        n=read(),m=read();
        for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=read();
        sort(a+1,a+m+1);int res=0;
        for(int i=0;i<=m;i++){
            Add(res,calc(n-a[i],m+1));
            for(int j=i+1;j<=m;j++)
                Dec(res,ksm(dec(a[j],a[i]),m+1));
        }cout<<res%mod<<'\n';
    }
}