【BZOJ4559】【JLOI2016】—成绩比较（拉格朗日插值+dp）

传送门

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$dp$
$f[i][j]$表示前$i$门课，有$j$个人没有被碾压的方案数

考虑$f[i-1][j]$转移到$f[i][w](j\le w)$
首先要选出$w-j$个新的没被他碾压的人
由于之前已经有一些没被碾压的人,所以方案数为${n-i+1\choose w-j}$
还有$R_i-1-w+j$个人是本来就没有被碾压的,从原来没被碾压得人中选，方案数为${R_i-1-w+j\choose j}$
这些人组成了排名比他高的

再考虑每一课内，枚举当前分数$x$,则有$(U-x)^{R-1}*x^{n-R}$种情况
令$g(i)=\sum_{x=1}^{U_i}(U_i-x)^{R_i-1}*x^{n-R_i}$

则$dp$转移：$f[i][w]=g(i){n-i+1\choose w-j}{R_i-1-w+j\choose j}f[i-1][j]$
但是$U$太大，无法直接枚举
考虑$\sum_{x=1}^{U}(U-x)^{R-1}$可以看做关于$U$的$R$次方多项式
也就是不超过$n$次多项式
拉格朗日插值就可以了

复杂度$O(n^3)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<21|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ib==ob)?EOF:*ib++;
} 
#define gc getchar
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define pob pop_back
#define pf push_front
#define pof pop_front
#define mp make_pair
#define bg begin
#define re register
const int mod=1e9+7,g=3;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline void Add(int &a,int b){a=a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a=a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline void chemx(int &a,int b){a>b?0:a=b;}
inline void chemn(int &a,int b){a<b?a=b:0;}
const int N=105;
int u[N],r[N],fac[N],pf[N][N],n,m,k,f[N][N];
int c[N][N];
inline void init(){
    for(int i=0;i<N;i++){
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)c[i][j]=add(c[i-1][j],c[i-1][j-1]);
    }pf[0][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        pf[i][0]=1,pf[i][1]=i;
        for(int j=2;j<N;j++)pf[i][j]=mul(pf[i][j-1],i);
    }
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
}
inline int calc(int u,int r){
    static int y[N];
    memset(y,0,sizeof(y));
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++)Add(y[i],mul(pf[i-j][r-1],pf[j][n-r]));
        if(i==u)return y[i];
    }int res=0;
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        int tmp=mul(fac[i-1],fac[n-i+1]);Mul(tmp,dec(u,i));
        if((n-i+1)&1)Mul(tmp,dec(0,1));
        tmp=ksm(tmp,mod-2),Mul(tmp,y[i]),Add(res,tmp);
    }
    for(int i=1;i<=n+1;i++)Mul(res,dec(u,i));
    return res;
}
inline int C(int i,int j){
    return (i<0||j<0||i<j)?0:c[i][j];
}
int main(){
    init();
    n=read(),m=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)u[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)r[i]=read();
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int g=calc(u[i],r[i]);
        for(int j=0;j<=n;j++)
            for(int k=j;k<=n;k++)
                Add(f[i][k],mul(mul(g,f[i-1][j]),mul(C(j,r[i]-1-k+j),C(n-j-1,k-j))));
    }
    cout<<f[m][n-k-1];
}